Вариант 2 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Изобразите на координатной плоскости $$xOy$$ множество решений системы неравенств $$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2>10,\\xy?3.\end{array}\right.$$
Изобразите график неравенства:

1) $$|2x-y|>1$$;

2) $$\sqrt{3x-y+2}<\sqrt{2x+y}$$.
Изобразите на координатной плоскости $$xOy$$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $$\min\{2y,3\}=x-2$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2>10,\\ xy\le 3. \end{cases}$$

Первое неравенство задаёт внешность окружности с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{10}$$, причём сама окружность не входит в решение.

Второе неравенство задаёт область, лежащую по обе стороны гиперболы $$xy=3$$, включая саму гиперболу.

Искомое множество решений — пересечение этих областей.

2) 1) $$|2x-y|>1$$

$$\begin{cases} 2x-y<-1,\\ \text{или}\\ 2x-y>1. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} y>2x+1,\\ \text{или}\\ y<2x-1. \end{cases}$$

График — две полуплоскости вне полосы между прямыми $$y=2x+1$$ и $$y=2x-1$$, сами прямые не входят в решение.

2) $$\sqrt{3x-y+2}<\sqrt{2x+y}$$

Так как корни определены только при неотрицательных подкоренных выражениях, получаем область определения:

$$\begin{cases} 3x-y+2\ge 0,\\ 2x+y\ge 0. \end{cases}$$

При этих условиях можно возвести обе части в квадрат:

$$3x-y+2<2x+y.$$

Тогда

$$2y>x+2,\qquad y>\frac12x+1.$$

Итак, решение — пересечение трёх неравенств:

$$\begin{cases} y\le 3x+2,\\ y\ge -2x,\\ y>\frac12x+1. \end{cases}$$

3) $$\min\{2y,3\}=x-2$$

Рассмотрим два случая.

$$2y\le 3$$, тогда $$\min\{2y,3\}=2y$$ и получаем
$$2y=x-2,\qquad y=\frac{x}{2}-1.$$
$$2y\ge 3$$, тогда $$\min\{2y,3\}=3$$ и получаем
$$3=x-2,\qquad x=5.$$

Следовательно, множество точек состоит из части прямой $$y=\frac{x}{2}-1$$ при $$y\le \frac32$$ и из луча прямой $$x=5$$ при $$y\ge \frac32$$.