Вариант 2 Самостоятельная работа 15 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 15. Неравенства с двумя переменными

Постройте график неравенства:

1. $$y \geq -x^2+4x-3$$;
2. $$xy>4$$;
3. $$(x-3y+2)(x+y-3)<0$$;
4. $$\frac{y-2x^2}{|y-2|}<0$$.

1) $$y\le -x^2+4x-3.$$

Приведём квадратный трёхчлен к вершиной форме:

$$y\le -(x^2-4x)-3=-(x-2)^2+1.$$

Парабола направлена ветвями вниз, вершина $$\left(2;1\right)$$. График неравенства — все точки, лежащие на параболе и ниже неё.

2) $$xy>4.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$x>0$$, то $$y>\dfrac{4}{x}$$;
• если $$x<0$$, то $$y<\dfrac{4}{x}$$.

Граница — гипербола $$xy=4$$, она не входит в решение. Искомая область состоит из точек выше правой ветви и ниже левой ветви гиперболы.

3) $$(x-3y+2)(x+y-3)<0.$$

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

$$\begin{cases} x-3y+2>0,\\ x+y-3<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x-3y+2<0,\\ x+y-3>0 \end{cases}$$

То есть:

$$\begin{cases} y<\dfrac{x+2}{3},\\ y<3-x \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y>\dfrac{x+2}{3},\\ y>3-x \end{cases}$$

Границы — прямые $$y=\dfrac{x+2}{3}$$ и $$y=3-x$$, они не входят в решение. Ответ — объединение областей, где точки лежат между этими прямыми не подходят, а по разные стороны от них подходят.

4) $$\dfrac{y-2x^2}{|y-2|}<0.$$

Дробь отрицательна, значит числитель и знаменатель разных знаков. Так как $$|y-2|>0$$ при $$y\ne 2$$, то знак дроби определяется числителем:

$$y-2x^2<0,\quad y\ne 2.$$

Следовательно,

$$y<2x^2,\quad y\ne 2.$$

Искомая область — все точки ниже параболы $$y=2x^2$$, при этом прямая $$y=2$$ исключается из области определения.

Ответ

1) область под параболой $$y=-(x-2)^2+1$$, включая границу;
2) $$x>0,\ y>\dfrac{4}{x}$$ или $$x<0,\ y<\dfrac{4}{x}$$;
3) $$(y<\dfrac{x+2}{3}\ \text{и}\ y<3-x)\ \text{или}\ (y>\dfrac{x+2}{3}\ \text{и}\ y>3-x)$$;
4) $$y<2x^2,\ y\ne 2$$.