Вариант 2 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\left\{\begin{aligned}\frac{x}{y}-\frac{y}{x}&=\frac{15}{4},\\2x-5y&=9.\end{aligned}\right.$$
3. $$\left\{\begin{aligned}x^2+2xy-10y^2&=0,\\x^2+2xy-y^2&=28.\end{aligned}\right.$$
2. $$\left\{\begin{aligned}v(x^2-4)+v(y^2+4)&=6,\\x^2+y^2&=26.\end{aligned}\right.$$
4. $$\left\{\begin{aligned}x-y+xy&=10,\\xy(x-y)&=16.\end{aligned}\right.$$

1) Пусть $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда $$t-\frac{1}{t}=\frac{15}{4},$$ откуда

$$4t^2-15t-4=0.$$

$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289,$$

$$t_1=\frac{15-17}{8}=-\frac14,\qquad t_2=\frac{15+17}{8}=4.$$

Если $$\frac{x}{y}=-\frac14,$$ то $$y=-4x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$2x-5(-4x)=9,$$

$$22x=9,\qquad x=\frac{9}{22},\qquad y=-4\cdot \frac{9}{22}=-\frac{18}{11}=-1\frac{7}{11}.$$

Если $$\frac{x}{y}=4,$$ то $$x=4y.$$ Тогда

$$2\cdot 4y-5y=9,$$

$$3y=9,\qquad y=3,\qquad x=12.$$

Ответ: $$\left(\frac{9}{22};-\frac{18}{11}\right),\ (12;3).$$

2) Из второго уравнения $$x^2+y^2=26.$$ Тогда первое уравнение можно записать так:

$$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{y^2+4}=6.$$

Обозначим $$a=\sqrt{x^2-4},\ b=\sqrt{y^2+4}.$$ Тогда

$$a+b=6,$$

а также

$$a^2+b^2=(x^2-4)+(y^2+4)=x^2+y^2=26.$$

Следовательно,

$$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{36-26}{2}=5.$$

Тогда числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-6t+5=0,$$

откуда $$t=1$$ или $$t=5.$$

Значит, возможны два случая:

1. $$\sqrt{x^2-4}=1,\ \sqrt{y^2+4}=5.$$ Тогда $$x^2=5,\ y^2=21,$$ то есть $$x=\pm \sqrt5,\ y=\pm \sqrt{21}.$$
2. $$\sqrt{x^2-4}=5,\ \sqrt{y^2+4}=1.$$ Но тогда $$y^2=-3,$$ что невозможно.

Ответ: $$(-\sqrt5;-\sqrt{21}),\ (-\sqrt5;\sqrt{21}),\ (\sqrt5;-\sqrt{21}),\ (\sqrt5;\sqrt{21}).$$

3) Пусть $$u=x^2+2xy.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} u-10y^2=0,\\ u-y^2=28. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-9y^2=-28,\qquad y^2=\frac{28}{9}.$$

Тогда

$$u=28+y^2=28+\frac{28}{9}=\frac{280}{9}.$$

Теперь из уравнения

$$x^2+2xy=\frac{280}{9}$$

и из первого уравнения системы

$$x^2+2xy=10y^2=\frac{280}{9}$$

получаем, что нужно решить квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$x^2+2xy-10y^2=0.$$

Его корни:

$$x=\frac{-2y\pm \sqrt{4y^2+40y^2}}{2}=\frac{-2y\pm 2\sqrt{11}\,|y|}{2}.$$

Подстановка $$y=\pm \frac{2\sqrt7}{3}$$ даёт пары решений

$$\left(\frac{2\sqrt7}{3};\frac{2\sqrt7}{3}\right),\ \left(-\frac{2\sqrt7}{3};-\frac{2\sqrt7}{3}\right).$$

Ответ: $$\left(\frac{2\sqrt7}{3};\frac{2\sqrt7}{3}\right),\ \left(-\frac{2\sqrt7}{3};-\frac{2\sqrt7}{3}\right).$$

4) Обозначим $$u=x-y,$$ $$t=xy.$$ Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} u+t=10,\\ ut=16. \end{cases}$$

Следовательно, $$u$$ и $$t$$ — корни уравнения

$$z^2-10z+16=0,$$

откуда

$$z_1=2,\qquad z_2=8.$$

Значит, возможны два случая.

1. $$x-y=8,\ xy=2.$$ Тогда $$y=x-8,$$ и

$$x(x-8)=2,$$

$$x^2-8x-2=0.$$

$$D=64+8=72,$$

$$x=\frac{8\pm \sqrt{72}}{2}=4\pm 3\sqrt2,$$

$$y=x-8=-4\pm 3\sqrt2.$$

2. $$x-y=2,\ xy=8.$$ Тогда $$y=x-2,$$ и

$$x(x-2)=8,$$

$$x^2-2x-8=0.$$

$$D=36,$$

$$x=\frac{2\pm 6}{2},\qquad x_1=-2,\ x_2=4.$$

Тогда

$$y_1=-4,\qquad y_2=2.$$

Ответ: $$(-2;-4),\ (4;2),\ (4+3\sqrt2;-4+3\sqrt2),\ (4-3\sqrt2;-4-3\sqrt2).$$