Вариант 2 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Самостоятельная работа № 13. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения.

Решите системы уравнений:

$$\begin{cases}x^2+xy-3y=-1,\\4x-y=3;\end{cases}$$
$$\begin{cases}(x-2)(y-1)=0,\\2x^2+y^2+xy=7;\end{cases}$$
$$\begin{cases}x^2+2xy=-1,\\4xy+9y^2=5;\end{cases}$$
$$\begin{cases}x^3y^3+x^2y^4=12,\\x^4y^2+x^3y^3=24.\end{cases}$$

Подробный ответ

$$\begin{cases} x^2+xy-3y=-1,\\ 4x-y=3 \end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=4x-3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+x(4x-3)-3(4x-3)=-1$$
$$x^2+4x^2-3x-12x+9=-1$$
$$5x^2-15x+10=0$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$(x-1)(x-2)=0$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=2$$.
Тогда:
при $$x=1$$: $$y=4\cdot 1-3=1$$;
при $$x=2$$: $$y=4\cdot 2-3=5$$.
Получаем пары $$(1;1)$$ и $$(2;5)$$.
$$\begin{cases} (x-2)(y-1)=0,\\ 2x^2+y^2+xy=7 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=2 \quad \text{или} \quad y=1.$$
1) Если $$x=2$$, то
$$2\cdot 2^2+y^2+2y=7$$
$$y^2+2y+1=0$$
$$(y+1)^2=0$$
$$y=-1.$$
Получаем точку $$(2;-1)$$.
2) Если $$y=1$$, то
$$2x^2+1+x=7$$
$$2x^2+x-6=0$$
$$(2x-3)(x+2)=0$$
$$x=\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x=-2.$$
Получаем точки $$\left(\frac{3}{2};1\right)$$ и $$(-2;1)$$.
$$\begin{cases} x^2+2xy=-1,\\ 4xy+9y^2=5 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$4$$, а второе оставим без изменения:
$$4x^2+8xy=-4$$
Сложим уравнения в удобной форме:
$$x^2+6xy+9y^2=4$$
$$(x+3y)^2=4$$
$$x+3y=\pm 2$$
Отсюда:
$$x=-3y+2 \quad \text{или} \quad x=-3y-2.$$
1) Если $$x=-3y+2$$, то
$$4y(-3y+2)+9y^2=5$$
$$-12y^2+8y+9y^2=5$$
$$3y^2-8y+5=0$$
$$(3y-5)(y-1)=0$$
$$y=\frac{5}{3} \quad \text{или} \quad y=1.$$
Тогда:
при $$y=1$$: $$x=-3\cdot 1+2=-1$$;
при $$y=\frac{5}{3}$$: $$x=-3\cdot \frac{5}{3}+2=-3.$$
2) Если $$x=-3y-2$$, то
$$4y(-3y-2)+9y^2=5$$
$$-12y^2-8y+9y^2=5$$
$$3y^2+8y+5=0$$
$$(3y+5)(y+1)=0$$
$$y=-\frac{5}{3} \quad \text{или} \quad y=-1.$$
Тогда:
при $$y=-1$$: $$x=-3(-1)-2=1$$;
при $$y=-\frac{5}{3}$$: $$x=-3\left(-\frac{5}{3}\right)-2=3.$$
$$\begin{cases} x^3y^3+x^2y^4=12,\\ x^4y^2+x^3y^3=24 \end{cases}$$
Вынесем общий множитель:
$$x^2y^3(x+y)=12,$$
$$x^3y^2(x+y)=24.$$
Так как $$x+y\neq 0$$, разделим второе уравнение на первое:
$$\frac{x^3y^2(x+y)}{x^2y^3(x+y)}=\frac{24}{12}$$
$$\frac{x}{y}=2$$
$$x=2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(2y)^3y^3(2y+y)=12$$
$$8y^6\cdot 3y=12$$
$$24y^7=12$$
$$y^7=\frac12$$
Здесь получаем противоречие с целыми значениями из исходного решения; проверим более аккуратно исходные преобразования:
$$x^3y^3+x^2y^4=x^2y^3(x+y)=12,$$
$$x^4y^2+x^3y^3=x^3y^2(x+y)=24.$$
Делим второе уравнение на первое:
$$\frac{x^3y^2(x+y)}{x^2y^3(x+y)}=\frac{24}{12} \Rightarrow \frac{x}{y}=2 \Rightarrow x=2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(2y)^2y^3(2y+y)=12$$
$$4y^5\cdot 3y=12$$
$$12y^6=12$$
$$y^6=1$$
$$y=\pm 1.$$
Тогда $$x=2y$$, значит:
при $$y=1$$: $$x=2$$;
при $$y=-1$$: $$x=-2$$.