Вариант 2 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Из первого уравнения получаем окружность с центром в начале координат и радиусом $$R=5$$:

$$x^2+y^2=25.$$

Из второго уравнения:

$$xy=12,\qquad y=\frac{12}{x}.$$

Точки пересечения графиков удовлетворяют системе, поэтому подставим $$y=\frac{12}{x}$$ в уравнение окружности:

$$x^2+\left(\frac{12}{x}\right)^2=25.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-25x^2+144=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-25t+144=0,$$

$$D=25^2-4\cdot144=625-576=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{25\pm7}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=16,\qquad t_2=9.$$

Значит,

$$x=\pm4,\ \pm3.$$

По формуле $$y=\frac{12}{x}$$ находим соответствующие значения $$y$$:

$$(-4,-3),\ (-3,-4),\ (3,4),\ (4,3).$$

2) График $$y=|x|$$ — это две прямые $$y=x$$ и $$y=-x$$. Парабола $$y=-x^2+2x+3$$ имеет вершину в точке

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,\qquad y_0=-1+2+3=4.$$

Найдём точки пересечения с каждой из прямых:

$$|x|=-x^2+2x+3.$$

Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:

$$x=-x^2+2x+3,$$

$$x^2-x-3=0.$$

Это уравнение имеет один подходящий корень $$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$, значит есть одна точка пересечения.

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:

$$-x=-x^2+2x+3,$$

$$x^2-3x-3=0.$$

Здесь есть один отрицательный корень, значит есть ещё одна точка пересечения.

Следовательно, система имеет $$2$$ решения.

3) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} ax+3y=12-a,\\ 12x+ay=12. \end{cases}$$

Определитель системы:

$$\Delta=a^2-36.$$

Если $$\Delta\ne0$$, то система имеет единственное решение, то есть при $$a\ne\pm6$$ решений одно.

Если $$a=6$$, то получаем:

$$\begin{cases} 6x+3y=6,\\ 12x+6y=12, \end{cases}$$

второе уравнение является следствием первого, значит решений бесконечно много.

Если $$a=-6$$, то

$$\begin{cases} -6x+3y=18,\\ 12x-6y=12, \end{cases}$$

прямые параллельны и не совпадают, значит решений нет.

Ответ

1) $$(-4,-3),\ (-3,-4),\ (3,4),\ (4,3)$$.

2) $$2$$ решения.

3) При $$a\ne\pm6$$ — одно решение; при $$a=-6$$ — решений нет; при $$a=6$$ — бесконечно много решений.