Вариант 2 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Постройте график уравнения:
1) $$x^2+y^2-8x+4y+20=0$$;
2) $$x^2-9y^2=0$$;
3) $$|y+3|=vx$$;
4) $$\frac{x^2+y^2-25}{y^2-9}=0$$. - Решите уравнение $$\left(x^2+4x+7\right)\left(y^2-6y+11\right)=6$$.
1) Преобразуем уравнение:
$$x^2+y^2-8x+4y+20=0$$
$$x^2-8x+16+y^2+4y+4=0$$
$$\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-4=0,\quad y+2=0$$
Следовательно, график — одна точка $$\left(4;\,-2\right)$$.
2) $$x^2-9y^2=0$$
$$x^2=9y^2$$
$$|x|=3|y|$$
Отсюда получаем две прямые:
$$y=\frac{1}{3}x \quad \text{и} \quad y=-\frac{1}{3}x$$
3) $$|y+3|=\sqrt{x}$$
Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, то:
$$y+3=\sqrt{x} \quad \text{или} \quad y+3=-\sqrt{x}$$
Значит, график состоит из двух ветвей:
$$y=\sqrt{x}-3 \quad \text{и} \quad y=-\sqrt{x}-3$$
4) $$\dfrac{x^2+y^2-25}{y^2-9}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2+y^2-25=0,\quad y^2-9\ne 0$$
$$x^2+y^2=25,\quad y\ne \pm 3$$
Это окружность с центром в начале координат и радиусом $$5$$, но точки с ординатами $$y=\pm 3$$ не входят в график.
2. Решим уравнение:
$$\left(x^2+4x+7\right)\left(y^2-6y+11\right)=6$$
Преобразуем множители:
$$x^2+4x+7=\left(x+2\right)^2+3\ge 3$$
$$y^2-6y+11=\left(y-3\right)^2+2\ge 2$$
Тогда
$$\left(x^2+4x+7\right)\left(y^2-6y+11\right)\ge 3\cdot 2=6$$
Равенство возможно только при
$$\left(x+2\right)^2=0,\quad \left(y-3\right)^2=0$$
то есть
$$x=-2,\quad y=3$$
Ответ: 1) $$\left(4;\,-2\right)$$; 2) $$y=\frac{x}{3}$$ и $$y=-\frac{x}{3}$$; 3) $$y=\sqrt{x}-3$$ и $$y=-\sqrt{x}-3$$; 4) $$x^2+y^2=25,\ y\ne \pm 3$$; 2) $$(-2;\,3)$$.
