Вариант 2 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ все корни уравнения $$x^2+(3a-4)x-12a=0$$ принадлежат промежутку $$(-1; 5)$$?
- Найдите все значения параметра $$a$$, при которых один из корней квадратного уравнения $$ax^2-x+2=0$$ больше $$-3$$, а другой меньше $$-3$$.
- При каких значениях параметра $$a$$ корни уравнения $$x^2+(2a+8)x+a^2-3a-10=0$$ являются отрицательными числами?
Рассмотрим уравнение
$$x^2+(3a-4)x-12a=0.$$
Найдём корни:
$$D=(3a-4)^2+48a=9a^2+24a+16=(3a+4)^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{-(3a-4)\pm(3a+4)}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac{-(3a-4)-(3a+4)}{2}=-3a,$$
$$x_2=\frac{-(3a-4)+(3a+4)}{2}=4.$$
Чтобы оба корня принадлежали промежутку $$(-1;5),$$ нужно, чтобы
$$-1<-3a<5.$$
Делим на $$-3$$, меняя знаки неравенств:
$$-\frac{5}{3}<a<\frac{1}{3}.$$
Рассмотрим уравнение
$$ax^2-x+2=0.$$
Пусть один корень больше $$-3,$$ а другой меньше $$-3.$$ Тогда число $$-3$$ лежит между корнями, значит
$$f(-3)<0,$$
где $$f(x)=ax^2-x+2.$$
Вычислим:
$$f(-3)=9a+3+2=9a+5.$$
Тогда
$$9a+5<0,$$
$$a<-\frac{5}{9}.$$
При этом квадратное уравнение должно иметь два действительных корня:
$$D=1-8a\ge 0,$$
$$a\le \frac{1}{8}.$$
Это условие выполняется автоматически при $$a<-\frac{5}{9}.$$
Рассмотрим уравнение
$$x^2+(2a+8)x+a^2-3a-10=0.$$
Чтобы оба корня были отрицательными, нужно и достаточно, чтобы выполнялись условия:
$$D\ge 0,\quad x_1+x_2<0,\quad x_1x_2>0.$$
1) Найдём дискриминант:
$$D=(2a+8)^2-4(a^2-3a-10)=44a+104.$$
Тогда
$$44a+104\ge 0,$$
$$a\ge -\frac{26}{11}.$$
2) Сумма корней:
$$x_1+x_2=-(2a+8)<0,$$
$$2a+8>0,$$
$$a>-4.$$
3) Произведение корней:
$$x_1x_2=a^2-3a-10=(a-5)(a+2)>0.$$
Отсюда
$$a<-2 \quad \text{или} \quad a>5.$$
Пересекаем все условия:
$$a\ge -\frac{26}{11},\quad a>-4,\quad a<-2 \ \text{или}\ a>5.$$
Получаем
$$a\in\left[-\frac{26}{11};-2\right)\cup(5;+\infty).$$
Ответ
1) $$\left(-\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$$
2) $$a<-\frac{5}{9}$$
3) $$\left[-\frac{26}{11};-2\right)\cup(5;+\infty)$$
