Вариант 1 Контрольная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Контрольная работа № 1. Квадратичная функция
- Найдите область определения функции $$f(x)=\sqrt{1-4x}+\frac{3}{x^2-x-12}.$$
- Найдите область значений функции $$y=\frac{2x-10}{x^2}.$$
- Исследуйте на чётность функции:
1) $$y=2x-x^5;$$
2) $$y=\frac{x^6-2x^5}{2-x};$$
3) $$y=\frac{|x-1|}{(2x+3)^2}+\frac{|x+1|}{(2x-3)^2}.$$ - Постройте график функции $$f(x)=-x^2+4x-3.$$ Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства $$f(x)>0.$$ - Постройте график функции:
1) $$y=|2-\sqrt{x}|;$$
2) $$y=\sqrt{2-x};$$
3) $$y=\sqrt{2-3x}.$$ - Решите уравнение $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=\frac{12}{x}.$$
- Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+5.$$
1) Для области определения нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:
$$1-4x\ge 0,\qquad x^2-x-12\ne 0.$$
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3),$$
значит, $$x\ne -3,\; x\ne 4.$$
Из неравенства $$1-4x\ge 0$$ получаем $$x\le \frac14.$$
Тогда
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;\tfrac14].$$
2) Найдём область значений функции $$y=\dfrac{2x-10}{x^2}.$$
Преобразуем:
$$yx^2=2x-10,$$
$$yx^2-2x+10=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=(-2)^2-4\cdot y\cdot 10\ge 0,$$
$$4-40y\ge 0,$$
$$y\le \frac{1}{10}.$$
При этом значение $$y=0$$ достигается, например, при $$x=5.$$
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;\tfrac{1}{10}].$$
3) Исследуем на чётность.
$$y=2x-x^5.$$
$$f(-x)=2(-x)-(-x)^5=-2x+x^5=-(2x-x^5)=-f(x).$$
Функция нечётная.
$$y=\dfrac{x^6-2x^5}{2-x}.$$
Область определения: $$x\ne 2.$$ Она несимметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y=\dfrac{|x-1|}{(2x+3)^2}+\dfrac{|x+1|}{(2x-3)^2}.$$
Область определения: $$x\ne -\tfrac32,\; x\ne \tfrac32.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$f(-x)$$:
$$f(-x)=\dfrac{|-x-1|}{(-2x+3)^2}+\dfrac{|-x+1|}{(-2x-3)^2} =\dfrac{|x+1|}{(2x-3)^2}+\dfrac{|x-1|}{(2x+3)^2}=f(x).$$
Функция чётная.
4) Для функции $$f(x)=-x^2+4x-3$$ найдём вершину параболы:
$$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=f(2)=-4+8-3=1.$$
Парабола ветвями вниз, значит наибольшее значение равно $$1$$.
Тогда:
1) $$E(f)=(-\infty;1];$$
2) функция убывает на $$[2;+\infty);$$
3) $$f(x)>0$$ при $$1<x<3.$$
5) Построим графики.
$$y=|2-\sqrt{x}|.$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то область определения: $$x\ge 0.$$
При $$0\le x\le 4$$ имеем $$2-\sqrt{x}\ge 0,$$ значит $$y=2-\sqrt{x}.$$
При $$x\ge 4$$ имеем $$2-\sqrt{x}\le 0,$$ значит $$y=\sqrt{x}-2.$$
Итак,
$$y=\begin{cases} 2-\sqrt{x}, & 0\le x\le 4,\\ \sqrt{x}-2, & x\ge 4. \end{cases}$$
$$y=\sqrt{2-x}.$$
Область определения: $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2.$$
График получается из графика $$y=\sqrt{x}$$ заменой $$x$$ на $$2-x$$.
$$y=\sqrt{2-3x}.$$
Область определения: $$2-3x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac23.$$
График получается из графика $$y=\sqrt{x}$$ заменой $$x$$ на $$2-3x$$.
6) Решим уравнение
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=\frac{12}{x}.$$
Область определения: $$x\ge 2,\; x\ne 0.$$
При $$x\ge 2$$ левая часть возрастает, а правая часть $$\dfrac{12}{x}$$ убывает, значит решение может быть только одно.
Проверим $$x=3$$:
$$\sqrt{3-2}+\sqrt{3+6}=1+3=4,\qquad \frac{12}{3}=4.$$
Следовательно, $$x=3.$$
7) Найдём наименьшее значение функции
$$f(x)=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+5.$$
Обозначим $$t=x^2+2x.$$ Тогда
$$f=t^2+4t+5=(t+2)^2+1.$$
Так как $$x^2+2x=(x+1)^2-1\ge -1,$$ то $$t\ge -1.$$
Минимум выражения $$t^2+4t+5$$ достигается при $$t=-2,$$ но это значение недостижимо. Поэтому берём ближайшее допустимое значение $$t=-1$$:
$$f_{\min}=(-1)^2+4\cdot(-1)+5=2.$$
Ответ
1) $$(-\infty;-3)\cup(-3;\tfrac14]$$; 2) $$(-\infty;\tfrac{1}{10}]$$; 3) 1) нечётная; 2) ни чётная, ни нечётная; 3) чётная; 4) $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$, $$1<x<3$$; 5) графики заданы формулами выше; 6) $$3$$; 7) $$2$$.
