Вариант 1 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения функции $$f(x)=\sqrt{2x-1}+\frac{1}{x^2-2x-8}.$$
2. Найдите область значений функции:
   1. $$y=3+\frac{x^5}{x};$$
   2. $$y=\frac{x+2}{x^2}.$$
3. Даны функции $$f(x)=2x-1$$ и $$g(x)=x^2-2.$$ Задайте формулой функцию:
   а) $$g(3x);$$
   б) $$f(g(x)).$$
4. Постройте график функции $$y=\frac{8-4x}{x^2-2x}.$$
5. Известно, что $$D(f)=[-3; 2].$$ Найдите область определения функции $$y=f(x+2).$$

1) Для функции $$f(x)=\sqrt{2x-1}+\frac{1}{x^2-2x-8}$$ нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:

$$2x-1\ge 0,$$

$$x^2-2x-8\ne 0.$$

Решим неравенство и уравнение:

$$2x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac12,$$

$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\ne 0 \Rightarrow x\ne 4,\; x\ne -2.$$

С учётом условия $$x\ge \frac12$$ получаем:

$$D(f)=\left[\frac12;4\right)\cup(4;+\infty).$$

2) Найдём область значений.

1) $$y=3+\frac{x^5}{x}=3+x^4,\quad x\ne 0.$$

Так как $$x^4>0$$ при $$x\ne 0,$$ то

$$y>3.$$

Следовательно,

$$E(y)=(3;+\infty).$$

2) $$y=\frac{x+2}{x^2},\quad x\ne 0.$$

Преобразуем:

$$yx^2=x+2,$$

$$yx^2-x-2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=1+8y\ge 0,$$

$$y\ge -\frac18.$$

Значит,

$$E(y)=\left[-\frac18;+\infty\right).$$

3) Даны $$f(x)=2x-1$$ и $$g(x)=x^2-2.$$

1) $$g(3x)=(3x)^2-2=9x^2-2.$$

2) $$f(g(x))=2(x^2-2)-1=2x^2-5.$$

4) $$y=\frac{8-4x}{x^2-2x}.$$

Упростим выражение:

$$y=\frac{4(2-x)}{x(x-2)}=-\frac{4}{x},\quad x\ne 0,\; x\ne 2.$$

Значит, график — это график функции $$y=-\frac{4}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=2$$, то есть точка $$\left(2;-2\right)$$ не принадлежит графику.

Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0.$$

5) Если $$D(f)=[-3;2],$$ то для функции $$y=f(x+2)$$ нужно, чтобы

$$-3\le x+2\le 2.$$

Вычтем 2:

$$-5\le x\le 0.$$

Следовательно,

$$D\bigl(f(x+2)\bigr)=[-5;0].$$

Ответ

1) $$D(f)=\left[\frac12;4\right)\cup(4;+\infty).$$

2) 1) $$E(y)=(3;+\infty);$$ 2) $$E(y)=\left[-\frac18;+\infty\right).$$

3) 1) $$g(3x)=9x^2-2;$$ 2) $$f(g(x))=2x^2-5.$$

4) $$y=-\frac{4}{x},\; x\ne 0,\; x\ne 2.$$

5) $$D\bigl(f(x+2)\bigr)=[-5;0].$$