Вариант 1 Контрольная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)=x^2-6x$$ найдём вершину параболы:

$$x_0=\frac{-(-6)}{2\cdot 1}=3,$$

$$y_0=3^2-6\cdot 3=9-18=-9.$$

Парабола ветвями направлена вверх, значит наименьшее значение функции равно $$-9$$.

Тогда:

1) $$E(f)=[-9;+\infty);$$

2) функция убывает на $$(-\infty;3];$$

3) $$f(x)>-8 \iff x^2-6x>-8 \iff x^2-6x+8>0 \iff (x-2)(x-4)>0,$$

откуда $$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty).$$

2. Решим неравенство:

$$\frac{x^2+4x+3}{x^2-5x+6}\le 0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x+1)(x+3)}{(x-2)(x-3)}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-3,\,-1,\,2,\,3.$$

С учётом знаков дроби получаем:

$$x\in[-3;-1]\cup(2;3).$$

3. Решим систему:

$$\begin{cases} x^2-xy=-8,\\ y^2-xy=24. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$x^2-2xy+y^2=16,$$

$$(x-y)^2=16,$$

$$x-y=\pm 4,$$

то есть $$y=x\mp 4.$$

Подставим в первое уравнение.

Если $$y=x-4,$$ то

$$x^2-x(x-4)=-8,$$

$$4x=-8,$$

$$x=-2,\quad y=-6.$$

Если $$y=x+4,$$ то

$$x^2-x(x+4)=-8,$$

$$-4x=-8,$$

$$x=2,\quad y=6.$$

Следовательно, решения системы:

$$(-2;-6),\ (2;6).$$

4. Пусть первый тракторист может вспахать поле за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда их производительности равны $$\frac1x$$ и $$\frac1y$$ поля в день.

По условию:

$$\frac1x+\frac1y=\frac14.$$

Если первый вспашет $$\frac13$$ поля, то на это уйдёт $$\frac{x}{3}$$ дня, а оставшиеся $$\frac23$$ поля второй вспашет за $$\frac{2y}{3}$$ дня. Получаем:

$$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=10,$$

$$x+2y=30.$$

Из системы

$$\begin{cases} \frac1x+\frac1y=\frac14,\\ x+2y=30 \end{cases}$$

получаем $$x=6,$$ $$y=12.$$

Значит, первый тракторист вспашет поле за $$6$$ дней, второй — за $$12$$ дней.

5. Неравенство

$$|y|(x-5)\ge 0$$

выполняется, если:

$$|y|=0 \quad \text{или} \quad x-5\ge 0.$$

Так как $$|y|=0$$ только при $$y=0,$$ то множество решений задаётся объединением:

$$y=0 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$

График — это ось $$Ox$$ и полуплоскость справа от прямой $$x=5$$, включая саму прямую.

6. На карточках записаны числа $$5,6,7,8.$$ Сумма двух выбранных чисел будет нечётной тогда и только тогда, когда одно число чётное, а другое нечётное.

Чётных чисел $$2$$, нечётных $$2$$. Благоприятных пар:

$$2\cdot 2=4.$$

Всего способов выбрать 2 карточки из 4:

$$C_4^2=6.$$

Тогда вероятность равна

$$P=\frac{4}{6}=\frac23.$$

7. Докажем неравенство:

$$\left(9+\frac1a\right)\left(25+\frac1b\right)(1+4ab)\ge 240,$$

где $$a>0,\ b>0.$$

По неравенству AM-GM:

$$9+\frac1a\ge 2\sqrt{\frac9a}=\frac6{\sqrt a},$$

$$25+\frac1b\ge 2\sqrt{\frac{25}b}=\frac{10}{\sqrt b},$$

$$1+4ab\ge 2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}.$$

Перемножая, получаем:

$$\left(9+\frac1a\right)\left(25+\frac1b\right)(1+4ab)\ge \frac6{\sqrt a}\cdot \frac{10}{\sqrt b}\cdot 4\sqrt{ab}=240.$$

Что и требовалось доказать.

8. Чтобы неравенство

$$(a-4)x^2+(8-2a)x+5>0$$

выполнялось при всех действительных $$x,$$ квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x.$$

Для этого необходимо:

$$a-4>0,$$

и дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=(8-2a)^2-4(a-4)\cdot 5.$$

Вычислим:

$$D=4(a-4)^2-20(a-4)=4(a-4)(a-9).$$

Тогда нужно

$$a>4,\quad 4(a-4)(a-9)<0.$$

При $$a>4$$ это возможно только при

$$4<a<9.$$

Следовательно, искомые значения параметра:

$$a\in(4;9).$$