Вариант 1 Контрольная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии $$6{,}3;\ 5{,}9;\ 5{,}5;\ \ldots$$.
- Первый и четвёртый члены геометрической прогрессии соответственно равны $$2{,}5$$ и $$20$$. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.
- При каком значении $$x$$ значения выражений $$2x+6$$, $$x+7$$ и $$x+4$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
- Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$27$$, а сумма трёх её первых членов равна $$35$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
- Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $$6$$, которые больше $$100$$ и меньше $$200$$.
- Последовательность задана рекуррентно: $$a_1=4,\quad a_2=10,\quad a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n$$. Докажите, что $$a_n=3^n+1$$.
- Найдите сумму $$\frac{1}{v_1+v_6}+\frac{1}{v_6+v_{11}}+\frac{1}{v_{11}+v_{16}}+\ldots+\frac{1}{v_{116}+v_{121}}$$.
1) Это арифметическая прогрессия, где $$a_1=6{,}3,$$ $$d=5{,}9-6{,}3=-0{,}4.$$
Ищем первый отрицательный член:
$$a_n=a_1+d(n-1)=6{,}3-0{,}4(n-1).$$
Требуем $$a_n<0$$:
$$6{,}3-0{,}4(n-1)<0$$
$$6{,}7-0{,}4n<0$$
$$0{,}4n>6{,}7$$
$$n>16{,}75.$$
Значит, первый отрицательный член — 17-й.
2) Для геометрической прогрессии $$b_1=2{,}5,$$ $$b_4=20.$$ Тогда
$$b_4=b_1q^3,$$
$$2{,}5q^3=20,$$
$$q^3=8,$$
$$q=2.$$
Сумма первых восьми членов:
$$S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\frac{2{,}5(2^8-1)}{2-1}=2{,}5\cdot 255=637{,}5.$$
3) Пусть последовательные члены геометрической прогрессии равны
$$2x+6,\quad x+7,\quad x+4.$$
Тогда
$$(x+7)^2=(2x+6)(x+4).$$
Раскроем скобки:
$$x^2+14x+49=2x^2+14x+24,$$
$$x^2=25,$$
$$x=\pm 5.$$
Если $$x=-5,$$ то члены прогрессии:
$$-4,\ 2,\ -1.$$
Если $$x=5,$$ то члены прогрессии:
$$16,\ 12,\ 9.$$
4) Для бесконечной геометрической прогрессии
$$S=\frac{b_1}{1-q}=27.$$
Также сумма трёх первых членов равна
$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=35.$$
Из первого уравнения:
$$b_1=27(1-q).$$
Подставим во второе:
$$27(1-q)\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=35,$$
$$27(1-q^3)=35,$$
$$1-q^3=\frac{35}{27},$$
$$q^3=-\frac{8}{27},$$
$$q=-\frac{2}{3}.$$
Тогда
$$b_1=27\left(1+\frac{2}{3}\right)=45.$$
5) Кратные 6, лежащие между 100 и 200:
$$102,108,114,\ldots,198.$$
Это арифметическая прогрессия с $$a_1=102,$$ $$a_n=198,$$ $$d=6.$$
Найдём число членов:
$$n=\frac{198-102}{6}+1=17.$$
Тогда
$$S_{17}=\frac{102+198}{2}\cdot 17=150\cdot 17=2550.$$
6) Докажем по индукции, что $$a_n=3^n+1.$$
Проверим начальные члены:
$$a_1=4=3^1+1,$$
$$a_2=10=3^2+1.$$
Предположим, что для некоторых $$n$$ верно:
$$a_n=3^n+1,\quad a_{n+1}=3^{n+1}+1.$$
Тогда
$$a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n=4(3^{n+1}+1)-3(3^n+1).$$
Преобразуем:
$$a_{n+2}=4\cdot 3^{n+1}+4-3\cdot 3^n-3$$
$$a_{n+2}=12\cdot 3^n+1-3\cdot 3^n$$
$$a_{n+2}=9\cdot 3^n+1=3^{n+2}+1.$$
Следовательно, $$a_n=3^n+1$$ для всех натуральных $$n$$.
7) Преобразуем каждый член суммы:
$$\frac{1}{\sqrt1+\sqrt6}=\frac{\sqrt6-\sqrt1}{6-1}=\frac{\sqrt6-1}{5},$$
$$\frac{1}{\sqrt6+\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt6}{11-6}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt6}{5},$$
и так далее. Тогда вся сумма телескопическая:
$$\frac{\sqrt6-1}{5}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt6}{5}+\frac{\sqrt{16}-\sqrt{11}}{5}+\cdots+\frac{\sqrt{121}-\sqrt{116}}{5}$$
$$=\frac{1}{5}(\sqrt{121}-\sqrt1)=\frac{1}{5}(11-1)=2.$$
Ответ: 1) 17; 2) 637,5; 3) при $$x=-5$$: $$-4,\,2,\,-1$$, при $$x=5$$: $$16,\,12,\,9$$; 4) $$b_1=45,$$ $$q=-\frac{2}{3}$$; 5) 2550; 6) $$a_n=3^n+1$$; 7) 2.
