Вариант 1 Контрольная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения:
1) $$\frac{3P(12)-P(11)}{7P(10)}$$;
2) $$\frac{A(5,2)}{C(6,3)}$$. - В коробке лежат шары, из которых девять — синие, а остальные — зелёные. Сколько в коробке зелёных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется зелёным, равна $$\frac{4}{7}$$?
- Сколько чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр $$2, 3, 4, 7$$ и $$9$$?
- Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых выполняется неравенство $$2^n?3n-1$$.
- В $$9$$ «А» классе учится $$25$$ человек, а в $$9$$ «Б» — $$28$$ человек. Сколько существует способов сформировать команду из $$10$$ человек для участия в соревнованиях по лёгкой атлетике, если из каждого класса нужно выбрать по $$5$$ человек?
- Из натуральных чисел от $$1$$ до $$32$$ включительно наугад выбирают шесть чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не более двух окажутся кратными числу $$3$$?
1)
$$\frac{3P_{12}-P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3\cdot 12!-11!}{7\cdot 10!} = \frac{3\cdot 12\cdot 11\cdot 10!-11\cdot 10!}{7\cdot 10!} = \frac{396-11}{7} = \frac{385}{7} =55$$
2)
$$\frac{A_5^2}{C_6^3} = \frac{5!}{(5-2)!}\cdot \frac{(6-3)!\cdot 3!}{6!} = \frac{5!}{3!}\cdot \frac{3!\cdot 3!}{6!} = 20\cdot \frac{1}{20} =1$$
Ответ: 55; 1.
Ход решения
2. Пусть в коробке было $$n$$ шаров, тогда зелёных шаров $$n-9$$. По условию
$$\frac{n-9}{n}=\frac47$$
$$7n-63=4n$$
$$3n=63,\quad n=21$$
Тогда зелёных шаров:
$$21-9=12$$
Ответ: 12.
3. Чётное четырёхзначное число должно оканчиваться на $$2$$ или $$4$$. Остальные три цифры выбираем из оставшихся четырёх цифр без повторений:
$$N=2\cdot 4\cdot 3\cdot 2=48$$
Ответ: 48.
4. Проверим значения $$n$$:
$$2^1=2,\quad 3\cdot 1-1=2$$
$$2^2=4,\quad 3\cdot 2-1=5$$
$$2^3=8,\quad 3\cdot 3-1=8$$
При $$n\ge 3$$ имеем $$2^n>3n-1$$, поэтому неравенство выполняется для всех натуральных $$n$$, кроме $$n=2$$.
Ответ: $$n\in \mathbb{N},\ n\ne 2$$.
5. Число способов выбрать команду равно произведению числа способов выбрать 5 человек из каждого класса:
$$N=C_{25}^5\cdot C_{28}^5 = \frac{25!}{20!\,5!}\cdot \frac{28!}{23!\,5!} =5\,221\,616\,400$$
Ответ: 5 221 616 400.
6. Кратных числу $$3$$ среди чисел от $$1$$ до $$32$$ ровно $$10$$, некратных — $$22$$. Ищем вероятность того, что среди выбранных шести чисел не более двух кратны $$3$$:
$$P= \frac{C_{22}^6+C_{22}^5\cdot C_{10}^1+C_{22}^4\cdot C_{10}^2}{C_{32}^6}$$
$$P= \frac{74\,613+263\,340+329\,175}{906\,192} = \frac{667\,128}{906\,192} \approx 0{,}74$$
Ответ: $$0{,}74$$.
