Вариант 1 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 9. Решения неравенств методом интервалов

1. Решите неравенство:
   1. $$(x+7)(x-6)(x-14)<0;$$
   2. $$(x+1)(5x-9)^2(3-x)^5>0;$$
   3. $$\frac{5x}{x^2-4x+3}+\frac{2}{x-1}\ ?\ \frac{3}{x-3};$$
   4. $$(x^2-36)\sqrt{x^2-16}\ ?\ 0.$$
2. Найдите множество решений неравенства $$|x-a|(3x^2-x-4)\ ?\ 0$$ в зависимости от значения параметра $$a$$.

1) Рассмотрим знаки множителей:

$$(x+7)(x-6)(x-14)<0$$

Нули выражения: $$x=-7,\; x=6,\; x=14.$$

По методу интервалов получаем:

$$x\in(-\infty;-7)\cup(6;14).$$

2) Так как $$\left(5x-9\right)^2\ge 0,$$ знак произведения определяется множителями $$x+1$$ и $$3-x.$$

Нули выражения: $$x=-1,\; x=\frac95,\; x=3.$$

С учётом строгого неравенства и чётной степени второго множителя:

$$x\in(-1;\tfrac95)\cup(\tfrac95;3).$$

3) Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5x}{x^2-4x+3}+\frac{2}{x-1}\ge \frac{3}{x-3}$$

$$\frac{5x+2(x-3)-3(x-1)}{(x-1)(x-3)}\ge 0$$

$$\frac{4x-3}{(x-1)(x-3)}\ge 0.$$

Область определения: $$x\ne 1,\; x\ne 3.$$

Критические точки: $$x=\frac34,\; x=1,\; x=3.$$

По методу интервалов:

$$x\in\left[\frac34;1\right)\cup(3;+\infty).$$

4) Рассмотрим неравенство

$$(x^2-36)\sqrt{x^2-16}\ge 0.$$

Область определения:

$$x^2-16\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -4 \text{ или } x\ge 4.$$

Кроме того,

$$x^2-36=(x-6)(x+6).$$

На области определения произведение неотрицательно при

$$x\in(-\infty;-6]\cup\{-4,4\}\cup[6;+\infty).$$

2. Решим неравенство с параметром:

$$|x-a|(3x^2-x-4)\le 0.$$

Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение не превосходит нуля тогда и только тогда, когда

$$|x-a|=0 \quad \text{или} \quad 3x^2-x-4\le 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$3x^2-x-4=(3x-4)(x+1).$$

Тогда

$$-1\le x\le \frac43.$$

Следовательно:

• если $$a\in\left[-1;\frac43\right],$$ то $$x\in\left[-1;\frac43\right];$$
• если $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac43;+\infty\right),$$ то $$x\in\left[-1;\frac43\right]\cup\{a\}.$$

Ответ:

1) $$(-\infty;-7)\cup(6;14);$$ 2) $$(-1;\tfrac95)\cup(\tfrac95;3);$$ 3) $$\left[\tfrac34;1\right)\cup(3;+\infty);$$ 4) $$(-\infty;-6]\cup\{-4,4\}\cup[6;+\infty).$$

2) если $$a\in\left[-1;\frac43\right],$$ то $$x\in\left[-1;\frac43\right];$$ если $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac43;+\infty\right),$$ то $$x\in\left[-1;\frac43\right]\cup\{a\}.$$