Вариант 1 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$x^2+5x-36<0$$; б) $$2x^2-3x+4>0$$;
   в) $$9x^2-6x+1\geqslant0$$.
2. Найдите область определения функции $$y=\sqrt{x^2-2x-35}+\frac{3x+2}{\sqrt{27-3x}}$$.
3. Решите неравенство $$\left|x^2-3\right|>x+3$$.
4. При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$ax^2+8x-a+10>0$$ выполняется при всех действительных значениях $$x$$?

1) Решим неравенства.

1. $$x^2+5x-36<0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-36)=25+144=169$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{2}$$

   $$x_1=-9,\quad x_2=4$$

   Тогда

   $$x^2+5x-36=(x+9)(x-4)$$

   Произведение отрицательно между корнями:

   $$-9<x<4$$

2. $$2x^2-3x+4>0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0$$

   Так как старший коэффициент положительный, то выражение положительно при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

3. $$9x^2-6x+1\ge 0$$

   $$9x^2-6x+1=(3x-1)^2$$

   Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство выполняется при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Ответ

1) $$(-9;4)$$; 2) $$(-\infty;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$.

Решение

2) Найдём область определения функции

$$y=\sqrt{x^2-2x-35}+\frac{3x+2}{\sqrt{27-3x}}.$$

Для корня в числителе нужно:

$$x^2-2x-35\ge 0$$

$$x^2-2x-35=(x-7)(x+5)$$

Отсюда

$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 7.$$

Для знаменателя нужно:

$$27-3x>0$$

так как подкоренное выражение в знаменателе не может быть равно нулю. Тогда

$$x<9.$$

Пересекаем условия:

$$(-\infty;-5]\cup[7;+\infty)\; \cap \;(-\infty;9)=(-\infty;-5]\cup[7;9).$$

Ответ

$$(-\infty;-5]\cup[7;9)$$.

Решение

3) Решим неравенство

$$|x^2-3|>x+3.$$

Рассмотрим два случая.

1. $$x^2-3\ge 0$$, тогда $$|x^2-3|=x^2-3$$ и

   $$x^2-3>x+3$$

   $$x^2-x-6>0$$

   $$(x+2)(x-3)>0$$

   Отсюда $$x<-2$$ или $$x>3$$.

2. $$x^2-3<0$$, тогда $$|x^2-3|=3-x^2$$ и

   $$3-x^2>x+3$$

   $$-x^2-x>0$$

   $$x^2+x<0$$

   $$x(x+1)<0$$

   Отсюда $$-1<x<0$$.

Объединяем решения:

$$(-\infty;-2)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

$$(-\infty;-2)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty)$$.

Решение

4) Найдём, при каких значениях параметра $$a$$ неравенство

$$ax^2+8x-a+10>0$$

выполняется при всех действительных $$x$$.

Для этого квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x$$, значит:

$$a>0$$

и дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=8^2-4\cdot a\cdot(10-a)<0$$

$$64-40a+4a^2<0$$

$$a^2-10a+16<0$$

$$(a-2)(a-8)<0$$

Отсюда

$$2<a<8.$$

Ответ

$$2<a<8$$.