Вариант 1 Самостоятельная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 7. Квадратичная функция, ее график и свойства
- Постройте график функции $$f(x)=x^2+8x+7$$. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства:
а) $$f(x)<0$$;
б) $$f(x)\geqslant 0$$;
4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:
а) $$[-5;6]$$;
б) $$[4;10]$$. - Пусть $$D$$ — дискриминант квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$. Изобразите схематически график квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$, если $$a>0$$, $$D>0$$, $$c>0$$, $$-\frac{b}{2a}<0$$.
- При каких значениях параметра $$a$$ произведение корней уравнения $$x^2-2ax+a^2+2a+6=0$$ принимает наименьшее значение?
1. Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+8x+7.$$
Найдём координаты вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot 1}=-4,$$
$$y_0=f(-4)=(-4)^2+8\cdot(-4)+7=16-32+7=-9.$$
Значит, вершина параболы имеет координаты $$(-4;\,-9),$$ ветви направлены вверх.
Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения:
$$x^2+8x+7=0,$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 6}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-7,\qquad x_2=-1.$$
Тогда:
- область значений функции: $$E(y)=[-9;\,+\infty);$$
- функция убывает на $$(-\infty;\,-4]$$ и возрастает на $$[-4;\,+\infty);$$
- $$f(x)<0$$ при $$x\in(-7;\,-1),$$ а $$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;\,-7]\cup[-1;\,+\infty);$$
- на отрезке $$[-5;\,6]$$ наименьшее значение равно $$-9,$$ наибольшее — $$91;$$ на отрезке $$[4;\,10]$$ наименьшее значение равно $$55,$$ наибольшее — $$187.$$
2. Так как $$a>0,$$ то ветви параболы направлены вверх. Условие $$D>0$$ означает, что график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках. При $$c>0$$ график пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат. Условие $$-\frac{b}{2a}<0$$ показывает, что абсцисса вершины отрицательна, то есть вершина расположена левее оси $$Oy$$.
Следовательно, схема графика: парабола с ветвями вверх, вершина левее оси $$Oy$$, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках и ось $$Oy$$ выше нуля.
3. По теореме Виета произведение корней уравнения
$$x^2-2ax+a^2+2a+6=0$$
равно
$$x_1x_2=a^2+2a+6=(a+1)^2+5.$$
Выражение $$(a+1)^2+5$$ принимает наименьшее значение, когда $$(a+1)^2=0,$$ то есть при
$$a=-1.$$
Тогда наименьшее значение произведения корней равно $$5.$$
Ответ: 1) $$E(y)=[-9;\,+\infty);$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-7;\,-1),$$ $$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;\,-7]\cup[-1;\,+\infty);$$ на $$[-5;\,6]$$: $$y_{\min}=-9,$$ $$y_{\max}=91,$$ на $$[4;\,10]$$: $$y_{\min}=55,$$ $$y_{\max}=187.$$ 2) Парабола с ветвями вверх, вершина левее оси $$Oy$$, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках и ось $$Oy$$ выше нуля. 3) $$a=-1.$$
