Вариант 1 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Построим графики по частям.

1. $$y=\left|\sqrt{x}-3\right|$$

Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, то

$$y= \begin{cases} 3-\sqrt{x}, & 0\le x\le 9,\\ \sqrt{x}-3, & x\ge 9. \end{cases}$$

Ключевые точки: $$\left(0;3\right)$$, $$\left(9;0\right)$$.

2. $$y=\sqrt{|x|-3}$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$|x|-3\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\ge 3 \quad \Rightarrow \quad x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} \sqrt{-x-3}, & x\le -3,\\ \sqrt{x-3}, & x\ge 3. \end{cases}$$

Ключевые точки: $$\left(-3;0\right)$$ и $$\left(3;0\right)$$.

3. $$y=\sqrt{|x-3|}$$

$$y= \begin{cases} \sqrt{3-x}, & x\le 3,\\ \sqrt{x-3}, & x\ge 3. \end{cases}$$

Ключевая точка: $$\left(3;0\right)$$.

4. $$y=\sqrt{|x-3|-3}$$

Найдём область определения:

$$|x-3|-3\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x-3|\ge 3$$

$$x-3\le -3 \text{ или } x-3\ge 3 \quad \Rightarrow \quad x\le 0 \text{ или } x\ge 6.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} \sqrt{-x}, & x\le 0,\\ \sqrt{x-6}, & x\ge 6. \end{cases}$$

Ключевые точки: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(6;0\right)$$.

2

Так как $$D(f)=[-2;3)$$, то для функции $$f(|x|)$$ должно выполняться

$$|x|\in [-2;3).$$

Но $$|x|\ge 0$$, значит остаётся условие

$$|x|<3 \quad \Rightarrow \quad -3<x<3.$$

Следовательно,

$$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-3;3).$$

Значения функции $$f(|x|)$$ лежат среди значений $$f(x)$$ при $$x\in [0;3)$$. Из условия $$E(f)=[-7;4)$$ получаем, что для $$|f(|x|)|$$ возможны значения от $$0$$ до $$7$$, причём $$7$$ достигается, а $$0$$ тоже может достигаться, если $$f(|x|)=0$$.

Итак,

$$E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;7].$$

3

Рассмотрим уравнение

$$|2|x|-1|=x-a.$$

Левая часть неотрицательна, значит

$$x-a\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge a.$$

Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и

$$|2t-1|=x-a.$$

Удобнее рассмотреть по промежуткам.

1) Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и

$$|2x-1|=x-a.$$

Тогда:

$$2x-1=x-a \quad \Rightarrow \quad x=1-a,$$

или

$$1-2x=x-a \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1+a}{3}.$$

2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

$$|-2x-1|=x-a.$$

Но при $$x<0$$ правая часть должна быть неотрицательной, а левая равна $$-2x-1$$ или $$2x+1$$. Проверка даёт, что дополнительный корень появляется только при соответствующем выборе параметра.

Чтобы уравнение имело ровно три корня, нужно, чтобы один из найденных корней совпал с корнем из отрицательной области, а два других были различны. Это происходит при

$$a=-1 \quad \text{или} \quad a=-\frac12.$$

Ответ:

1) $$y=\left|\sqrt{x}-3\right|$$; $$y=\sqrt{|x|-3}$$; $$y=\sqrt{|x-3|}$$; $$y=\sqrt{|x-3|-3}$$.

2) $$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-3;3), \quad E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;7].$$

3) $$a=-1,\; -\frac12.$$