Вариант 1 Контрольная работа 4 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) $$x-4y\ge 8$$

Приведём к виду функции:

$$4y\le x-8,$$

$$y\le 0{,}25x-2.$$

Граница — прямая $$y=0{,}25x-2$$, её нужно провести сплошной линией. Решением будет полуплоскость, лежащая ниже этой прямой, включая саму прямую.

2) $$\left(x-1\right)^2+y^2\le 4$$

Это круг с центром $$\left(1;0\right)$$ и радиусом $$2$$. Решением является вся внутренняя область круга вместе с границей.

3) Для фигуры на рисунке получаем систему:

$$\begin{cases} x^2\le 4,\\ y\le 4. \end{cases}$$

4) Докажем неравенство:

$$x^2+9y^4+1\ge -3xy^2-x+3y^2.$$

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем:

$$x^2+9y^4+1+3xy^2+x-3y^2\ge 0$$

$$(x+1)^2+\left(3y^2-1\right)^2+\left(x+3y^2\right)^2\ge 0.$$

Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.

5) Пусть $$a>0$$, $$b>0$$ и $$2a+3b=12$$. Тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$2a+3b\ge 2\sqrt{2a\cdot 3b}=2\sqrt{6ab}.$$

Отсюда

$$12\ge 2\sqrt{6ab},$$

$$6\ge \sqrt{6ab},$$

$$36\ge 6ab,$$

$$ab\le 6.$$

Наибольшее значение $$ab$$ равно $$6$$.

6) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} x^2-2x-a+3\le 0,\\ a-x\le 3. \end{cases}$$

Из второго неравенства:

$$x\ge a-3.$$

Первое неравенство равносильно:

$$x^2-2x-(a-3)\le 0.$$

Его корни:

$$x_{1,2}=1\pm \sqrt{a-2}.$$

Чтобы система имела решение, нужно, чтобы промежуток решений первого неравенства пересекался с условием $$x\ge a-3$$. Это возможно при

$$2\le a\le 6.$$

7) Докажем неравенство:

$$\sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\le 6.$$

По неравенству Коши–Буняковского:

$$\left(\sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\right)^2 \le \left((1+3x)+(6-2x)+(5-x)\right)\cdot 3.$$

Так как

$$(1+3x)+(6-2x)+(5-x)=12,$$

то

$$\left(\sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\right)^2\le 36.$$

Следовательно,

$$\sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\le 6.$$

Ответ

1) $$y\le 0{,}25x-2$$; 2) круг с центром $$\left(1;0\right)$$ и радиусом $$2$$; 3) $$\begin{cases}x^2\le 4,\\ y\le 4.\end{cases}$$; 4) верно; 5) $$6$$; 6) $$a\in[2;6]$$; 7) верно.