Вариант 1 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Каковы координаты вершины параболы: 1) $$y=x^2+7$$; 2) $$y=(x+8)^2$$; 3) $$y=(x-6)^2+9$$?
Постройте график функции $$y=\sqrt{x}$$. Используя этот график, постройте график функции: 1) $$y=\sqrt{x}-4$$; 2) $$y=3+\sqrt{x+1}$$.
Постройте график функции $$y=\frac{2x}{x+3}$$.
Сколько корней имеет уравнение $$|x+3|=a-x^2$$ в зависимости от значения параметра $$a$$?

Подробный ответ

1) Для параболы $$y=x^2+7$$ вершина имеет координаты $$\left(0;7\right).$$

2) Для параболы $$y=(x+8)^2$$ вершина имеет координаты $$\left(-8;0\right).$$

3) Для параболы $$y=(x-6)^2+9$$ вершина имеет координаты $$\left(6;9\right).$$

1) График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем вниз на $$4$$ единицы. Получаем $$y=\sqrt{x}-4.$$

2) График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем вверх на $$3$$ единицы и влево на $$1$$ единицу. Получаем $$y=3+\sqrt{x+1}.$$

3) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{2x}{x+3}=\frac{2x+6-6}{x+3}=2-\frac{6}{x+3}.$$

Это гипербола с асимптотами $$x=-3$$ и $$y=2.$$

Рассмотрим уравнение

$$|x+3|=a-x^2.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$a-x^2\ge 0.$$

Решим по случаям.

Если $$x\ge -3,$$ то $$|x+3|=x+3,$$ и
$$x+3=a-x^2,$$
$$x^2+x+(3-a)=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-4(3-a)=4a-11.$$
Корни существуют при $$D\ge 0,$$ то есть при $$a\ge \frac{11}{4}.$$
Если $$x<-3,$$ то $$|x+3|=-x-3,$$ и
$$-x-3=a-x^2,$$
$$x^2-x-(a+3)=0.$$
Но при $$x<-3$$ правая часть $$a-x^2$$ должна быть неотрицательной, поэтому возможные корни также зависят от значения параметра.

В итоге число корней зависит от параметра так:

при $$a<\frac{11}{4}$$ корней нет; при $$a=\frac{11}{4}$$ один корень; при $$a>\frac{11}{4}$$ два корня.