Вариант 1 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму $$\frac{4}{3}+\frac{19}{9}+\frac{82}{27}+\ldots+\frac{3^n\cdot n+1}{3^n}$$.
2. Найдите сумму $$\left(2+\frac{1}{2}\right)^2+\left(2^2+\frac{1}{2^2}\right)^2+\left(2^3+\frac{1}{2^3}\right)^2+\ldots+\left(2^n+\frac{1}{2^n}\right)^2$$.
3. Найдите сумму $$\frac{1}{3\cdot7}+\frac{1}{7\cdot11}+\frac{1}{11\cdot15}+\ldots+\frac{1}{(4n-1)\cdot(4n+3)}$$.

1) Представим каждый член суммы в виде суммы двух слагаемых:

$$\frac{4}{3}+\frac{19}{9}+\frac{82}{27}+\cdots+\frac{3^n\cdot n+1}{3^n}=\left(1+\frac13\right)+\left(2+\frac19\right)+\left(3+\frac1{27}\right)+\cdots+\left(n+\frac1{3^n}\right).$$

Тогда

$$\left(1+2+3+\cdots+n\right)+\left(\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots+\frac1{3^n}\right).$$

Первую сумму находим по формуле:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Вторая сумма — геометрическая прогрессия:

$$\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots+\frac1{3^n}=\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^n\right)}{1-\frac13}=\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right).$$

Следовательно,

$$S=\frac{n(n+1)}{2}+\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right)=\frac{n^2+n+1}{2}-\frac1{2\cdot 3^n}.$$

2) Раскроем квадраты:

$$\left(2+\frac12\right)^2+\left(2^2+\frac1{2^2}\right)^2+\left(2^3+\frac1{2^3}\right)^2+\cdots+\left(2^n+\frac1{2^n}\right)^2$$

$$=\left(2^2+2+\frac1{2^2}\right)+\left(2^4+2+\frac1{2^4}\right)+\cdots+\left(2^{2n}+2+\frac1{2^{2n}}\right).$$

Сгруппируем слагаемые:

$$S=2n+\left(2^2+2^4+\cdots+2^{2n}\right)+\left(\frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\cdots+\frac1{2^{2n}}\right).$$

Это две геометрические прогрессии:

$$2^2+2^4+\cdots+2^{2n}=\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{4^{n+1}-4}{3},$$

$$\frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\cdots+\frac1{2^{2n}}=\frac{\frac14\left(1-\left(\frac14\right)^n\right)}{1-\frac14}=\frac13\left(1-\frac1{4^n}\right).$$

Тогда

$$S=2n+\frac{4^{n+1}-4}{3}+\frac13\left(1-\frac1{4^n}\right)=2n+\frac{4^{n+1}}{3}-1-\frac1{3\cdot 4^n}.$$

3) Разложим каждый дробный член на разность:

$$\frac1{(4k-1)(4k+3)}=\frac14\left(\frac1{4k-1}-\frac1{4k+3}\right).$$

Тогда сумма телескопическая:

$$\frac1{3\cdot 7}+\frac1{7\cdot 11}+\frac1{11\cdot 15}+\cdots+\frac1{(4n-1)(4n+3)}$$

$$=\frac14\left(\frac13-\frac17+\frac17-\frac1{11}+\frac1{11}-\frac1{15}+\cdots+\frac1{4n-1}-\frac1{4n+3}\right)$$

$$=\frac14\left(\frac13-\frac1{4n+3}\right)=\frac1{12}-\frac1{4(4n+3)}.$$

Ответ

1) $$\frac{n^2+n+1}{2}-\frac1{2\cdot 3^n}$$

2) $$2n+\frac{4^{n+1}}{3}-1-\frac1{3\cdot 4^n}$$

3) $$\frac1{12}-\frac1{4(4n+3)}$$