Вариант 1 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: а) $$36,\ -12,\ 4,\ \ldots$$; б) $$21,\ 3\sqrt{7},\ 3,\ \ldots$$.
Запишите в виде обыкновенной дроби число: а) $$0{,}777\ldots$$; б) $$8{,}3(18)$$.
В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$, где $$|q|<1$$, сумма членов с нечётными номерами равна $$24$$, а сумма членов с чётными номерами равна $$4$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Подробный ответ

1) Для бесконечной геометрической прогрессии $$S=\dfrac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

1. $$36,\,-12,\,4,\ldots$$

$$b_1=36,\quad q=\dfrac{-12}{36}=-\dfrac13,$$
$$S=\dfrac{36}{1-(-\frac13)}=\dfrac{36}{1+\frac13}=\dfrac{36}{\frac43}=27.$$

2. $$21,\,3\sqrt7,\,3,\ldots$$

$$b_1=21,\quad q=\dfrac{3\sqrt7}{21}=\dfrac{\sqrt7}{7},$$
$$S=\dfrac{21}{1-\frac{\sqrt7}{7}}=\dfrac{147}{7-\sqrt7}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$S=\dfrac{147(7+\sqrt7)}{(7-\sqrt7)(7+\sqrt7)}=\dfrac{147(7+\sqrt7)}{49-7}=3{,}5(7+\sqrt7).$$

2) Запишем число в виде обыкновенной дроби.

1. $$0{,}777\ldots = 0{,}7+0{,}07+0{,}007+\ldots$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с
$$b_1=0{,}7,\quad q=0{,}1.$$
Тогда
$$S=\dfrac{0{,}7}{1-0{,}1}=\dfrac{0{,}7}{0{,}9}=\dfrac79.$$

2. $$8{,}3(18)=8{,}3+0{,}018+0{,}00018+\ldots$$

Здесь
$$b_1=0{,}018,\quad q=0{,}01.$$
Тогда
$$S=8{,}3+\dfrac{0{,}018}{1-0{,}01}= \dfrac{83}{10}+\dfrac{18}{990} = \dfrac{83}{10}+\dfrac{1}{55}=\dfrac{183}{22}.$$

3) Пусть сумма членов с нечётными номерами равна $$24,$$ а с чётными — $$4.$$

Сумма чётных членов получается из суммы нечётных умножением на $$q$$:
$$4=24q,$$
откуда
$$q=\dfrac16.$$

Сумма всей бесконечной прогрессии:
$$S=24+4=28.$$
По формуле суммы:
$$28=\dfrac{b_1}{1-\frac16}=\dfrac{b_1}{\frac56},$$
следовательно,
$$b_1=28\cdot \dfrac56=\dfrac{70}{3}=23\dfrac13.$$