Вариант 1 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Геометрическая прогрессия $$(b_n)$$ задана формулой n-го члена $$b_n=3\cdot2^{n+1}$$. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.
- Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна $$2046$$. Найдите n, если первый член прогрессии равен $$6$$, а знаменатель прогрессии равен $$4$$.
- Для любого натурального n сумму n первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $$S_n=2(5^n-1)$$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.
1) Найдём первые члены прогрессии:
$$b_1=3\cdot 2^{1+1}=3\cdot 2^2=12,$$
$$b_2=3\cdot 2^{2+1}=3\cdot 2^3=24.$$
Знаменатель прогрессии:
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{24}{12}=2.$$
Тогда сумма первых шести членов:
$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{12(2^6-1)}{2-1}=12\cdot 63=756.$$
2) Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Подставим данные:
$$\frac{6(4^n-1)}{4-1}=2046.$$
$$2(4^n-1)=2046,$$
$$4^n-1=1023,$$
$$4^n=1024=4^5,$$
значит, $$n=5.$$
3) Найдём первые члены последовательности по формуле суммы:
$$S_n=2(5^n-1).$$
Тогда
$$S_1=2(5-1)=8,$$
$$S_2=2(25-1)=48.$$
Следовательно,
$$b_1=S_1=8,$$
$$b_2=S_2-S_1=48-8=40.$$
Найдём знаменатель:
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{40}{8}=5.$$
Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{8(5^n-1)}{5-1}=2(5^n-1).$$
Получили данную в условии формулу, значит, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: 1) $$756$$; 2) $$5$$; 3) последовательность является геометрической прогрессией.
