Вариант 1 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$16,\ b_2,\ b_3,\ b_4,\ 81.$$

Тогда $$b_5=b_1q^4=81,$$ то есть

$$16q^4=81,$$

откуда

$$q^4=\frac{81}{16}, \qquad q=\pm \frac{3}{2}.$$

Находим промежуточные члены:

$$b_2=16q=\pm 24,$$

$$b_3=16q^2=36,$$

$$b_4=16q^3=\pm 54.$$

Получаем две прогрессии:

$$16;\ 24;\ 36;\ 54;\ 81$$

и

$$16;\ -24;\ 36;\ -54;\ 81.$$

2. Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$ имеем:

$$b_{10}=b_1q^9,\qquad b_8=b_1q^7.$$

Из условия $$b_{10}=9b_8$$ получаем

$$b_1q^9=9b_1q^7,$$

$$q^2=9,\qquad q=\pm 3.$$

Теперь используем условие $$b_3+b_6=168$$:

$$b_1q^2+b_1q^5=168,$$

$$b_1q^2(1+q^3)=168.$$

Если $$q=3,$$ то

$$9b_1+243b_1=168,$$

$$252b_1=168,\qquad b_1=\frac{2}{3}.$$

Если $$q=-3,$$ то

$$9b_1-243b_1=168,$$

$$-234b_1=168,\qquad b_1=-\frac{28}{39}.$$

Значит, возможны два ответа:

$$b_1=\frac{2}{3},\ q=3$$

или

$$b_1=-\frac{28}{39},\ q=-3.$$

3. Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$a_1,\ a_2,\ a_3.$$ Тогда

$$a_1+a_2+a_3=90,$$

а значит

$$a_2=30.$$

Обозначим разность прогрессии через $$d$$. Тогда

$$a_1=30-d,\qquad a_3=30+d.$$

После вычитания получаем числа

$$b_1=a_1-7=23-d,$$

$$b_2=a_2-18=12,$$

$$b_3=a_3-2=28+d.$$

Так как они образуют геометрическую прогрессию, то

$$b_2^2=b_1b_3,$$

$$144=(23-d)(28+d).$$

Раскроем скобки:

$$144=644-5d-d^2,$$

$$d^2+5d-500=0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2+4\cdot 500=2025,$$

$$d=\frac{-5\pm 45}{2}.$$

Отсюда

$$d_1=-25,\qquad d_2=20.$$

1) Если $$d=-25,$$ то

$$a_1=30-(-25)=55,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+(-25)=5.$$

2) Если $$d=20,$$ то

$$a_1=30-20=10,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+20=50.$$

Ответ

1) $$16;\ 24;\ 36;\ 54;\ 81$$ или $$16;\ -24;\ 36;\ -54;\ 81.$$

2) $$b_1=\frac{2}{3},\ q=3$$ или $$b_1=-\frac{28}{39},\ q=-3.$$

3) $$55;\ 30;\ 5$$ или $$10;\ 30;\ 50.$$