Вариант 1 Самостоятельная работа 31 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 31. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
- Арифметическая прогрессия $$(a_n)$$ задана формулой n-го члена: $$a_n=2n-3$$. Найдите сумму тридцати шести первых членов прогрессии.
- Для любого натурального значения $$n$$ сумму $$n$$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $$S_n=4n^2-5n$$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
- Девятнадцатый член арифметической прогрессии равен $$16$$. Найдите сумму тридцати семи первых членов прогрессии.
1. Для арифметической прогрессии $$a_n=2n-3$$ найдём первый и тридцать шестой члены:
$$a_1=2\cdot 1-3=-1,$$
$$a_{36}=2\cdot 36-3=69.$$
Тогда сумма первых $$36$$ членов:
$$S_{36}=\frac{a_1+a_{36}}{2}\cdot 36=\frac{-1+69}{2}\cdot 36=34\cdot 36=1224.$$
2. По формуле суммы
$$S_n=4n^2-5n$$
находим:
$$S_1=4-5=-1,$$
$$S_2=16-10=6.$$
Так как $$a_1=S_1,$$ то
$$a_1=-1.$$
Далее
$$a_2=S_2-S_1=6-(-1)=7,$$
значит, разность прогрессии
$$d=a_2-a_1=7-(-1)=8.$$
3. Используем формулу суммы арифметической прогрессии:
$$S_{37}=\frac{a_1+a_{37}}{2}\cdot 37.$$
Так как $$a_{19}=16,$$ то
$$a_{19}=a_1+18d=16.$$
В арифметической прогрессии сумма членов, равноудалённых от середины, равна удвоенному среднему члену, поэтому
$$a_1+a_{37}=2a_{19}=32.$$
Тогда
$$S_{37}=\frac{32}{2}\cdot 37=16\cdot 37=592.$$
Ответ: 1) $$1224$$; 2) $$a_1=-1,\ d=8$$; 3) $$592$$.
