Вариант 1 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии $$5{,}3;\ 4{,}9;\ 4{,}5;\ \ldots$$.
- Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_4+a_8=35$$ и $$a_3+a_{21}=65$$.
- При каком значении $$n$$ значения выражений $$n^2$$, $$2n+3$$, $$3n+4$$ и $$n^2+n+7$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.
1) Для арифметической прогрессии $$a_1=5{,}3,\quad a_2=4{,}9,$$ поэтому
$$d=a_2-a_1=4{,}9-5{,}3=-0{,}4.$$
Ищем первый отрицательный член:
$$a_n=a_1+d(n-1)=5{,}3-0{,}4(n-1).$$
Требуем
$$5{,}3-0{,}4(n-1)<0,$$
$$5{,}3-0{,}4n+0{,}4<0,$$
$$5{,}7<0{,}4n,$$
$$n>14{,}25.$$
Значит, первый отрицательный член — 15-й.
2) Используем формулу $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда
$$a_4+a_8=(a_1+3d)+(a_1+7d)=35,$$
$$2a_1+10d=35.$$
Также
$$a_3+a_{21}=(a_1+2d)+(a_1+20d)=65,$$
$$2a_1+22d=65.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$12d=30,\quad d=2{,}5.$$
Подставим в $$2a_1+10d=35$$:
$$2a_1+25=35,$$
$$2a_1=10,\quad a_1=5.$$
3) Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии:
$$n^2,\quad 2n+3,\quad 3n+4,\quad n^2+n+7.$$
Тогда разности соседних членов равны:
$$2(2n+3)=n^2+(3n+4),$$
$$2(3n+4)=(2n+3)+(n^2+n+7).$$
Из первого равенства:
$$4n+6=n^2+3n+4,$$
$$n^2-n-2=0,$$
$$\left(n-2\right)\left(n+1\right)=0,$$
$$n=2 \text{ или } n=-1.$$
Из второго равенства:
$$6n+8=n^2+3n+10,$$
$$n^2-3n+2=0,$$
$$\left(n-1\right)\left(n-2\right)=0,$$
$$n=1 \text{ или } n=2.$$
Общее значение: $$n=2.$$
Тогда члены прогрессии:
$$n^2=4,\quad 2n+3=7,\quad 3n+4=10,\quad n^2+n+7=13.$$
Ответ: 1) $$15$$; 2) $$a_1=5,\ d=2{,}5$$; 3) $$n=2,$$ члены прогрессии: $$4,\ 7,\ 10,\ 13.$$
