Вариант 1 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Функция $$f$$ нечётная. Может ли выполняться равенство $$f(3)\cdot f(-3)=4$$?
- Исследуйте на чётность функцию:
1) $$y=\frac{x^5+x^4}{x+1}$$;
3) $$y=v(5+x)-v(5-x)$$.
2) $$y=x^7-3x^2$$; - Известно, что $$\min_{[-4;-2]} f(x)=-1$$, $$\max_{[-4;-2]} f(x)=3$$. Найдите $$\min_{[2;4]} f(x)$$ и $$\max_{[2;4]} f(x)$$, если:
1) $$f$$ — чётная функция;
2) $$f$$ — нечётная функция. - При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^4-ax^2+a^2-2a-3=0$$ имеет единственный корень?
1. Так как функция нечётная, то $$f(-3)=-f(3).$$ Тогда
$$f(3)\cdot f(-3)=f(3)\cdot(-f(3))=-(f(3))^2.$$
Это число не может быть равно $$4,$$ так как $$-(f(3))^2\le 0.$$
Ответ: нет.
Ход решения
2. Исследуем функции на чётность.
$$y=\frac{x^5+x^4}{x+1}, \quad x\ne -1.$$
Область определения не симметрична относительно нуля, так как при $$x=-1$$ функция не определена, а при $$x=1$$ определена. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: общего вида.
$$y=x^7-3x^2, \quad x\in \mathbb{R}.$$
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=(-x)^7-3(-x)^2=-x^7-3x^2.$$
Получили, что $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x).$$ Следовательно, функция общего вида.
Ответ: общего вида.
$$y=\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}.$$
Область определения: $$5+x\ge 0,$$ $$5-x\ge 0,$$ то есть $$-5\le x\le 5.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}=-\bigl(\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}\bigr)=-y(x).$$
Значит, функция нечётная.
Ответ: нечётная.
Ход решения
3. Известно, что
$$\min_{[-4;-2]} f(x)=-1,\qquad \max_{[-4;-2]} f(x)=3.$$
Если $$f$$ — чётная функция, то значения на отрезке $$[2;4]$$ совпадают со значениями на отрезке $$[-4;-2].$$ Поэтому
$$\min_{[2;4]} f(x)=-1,\qquad \max_{[2;4]} f(x)=3.$$
Если $$f$$ — нечётная функция, то при переходе от $$x$$ к $$-x$$ значения меняют знак. Следовательно, на отрезке $$[2;4]$$ получаем:
$$\min_{[2;4]} f(x)=-3,\qquad \max_{[2;4]} f(x)=1.$$
Ответ: 1) $$-1$$ и $$3$$; 2) $$-3$$ и $$1$$.
Ход решения
4. Рассмотрим уравнение
$$x^4-ax^2+a^2-2a-3=0.$$
Оно чётное, поэтому если $$x_0$$ — корень, то и $$-x_0$$ — корень. Чтобы корень был единственным, он должен быть равен нулю.
Подставим $$x=0$$:
$$a^2-2a-3=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$
$$a_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$
Получаем:
$$a_1=-1,\qquad a_2=3.$$
Проверим:
при $$a=-1$$
$$x^4+x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2(x^2+1)=0 \;\Rightarrow\; x=0;$$
при $$a=3$$
$$x^4-3x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2(x^2-3)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\ \pm\sqrt{3}.$$
Единственный корень получается только при $$a=-1.$$
Ответ: $$-1.$$
