Вариант 1 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 29. Числовые последовательности
- Найдите три первых члена последовательности $$(a_n)$$, если $$a_1=-3,\quad a_{n+1}=3a_n+2.$$
- Последовательность $$(a_n)$$ задана формулой $$n$$-го члена $$a_n=6n-1.$$ Является ли членом этой последовательности число: 1) 17; 2) 36? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
- Последовательность $$(a_n)$$ задана формулой $$n$$-го члена $$a_n=n^2-4n+2.$$ Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа 14.
- Найдите все такие значения $$a$$, при которых последовательность, заданная условиями $$x_1=a,\quad x_{n+1}=x_n^2-7x_n+7,$$ является стационарной.
1. Найдём первые три члена последовательности:
$$a_1=-3$$
$$a_2=3a_1+2=3\cdot(-3)+2=-9+2=-7$$
$$a_3=3a_2+2=3\cdot(-7)+2=-21+2=-19$$
Ответ: $$-3;\,-7;\,-19.$$
2. Проверим, является ли число членом последовательности $$a_n=6n-1$$.
1) $$6n-1=17$$
$$6n=18,\quad n=3$$
Значит, число $$17$$ является членом последовательности, его номер $$3$$.
2) $$6n-1=36$$
$$6n=37,\quad n=\frac{37}{6}$$
Так как номер члена последовательности должен быть натуральным числом, число $$36$$ не является членом последовательности.
Ответ: 1) да, $$3$$; 2) нет.
3. Найдём, сколько членов последовательности $$a_n=n^2-4n+2$$ меньше числа $$14$$:
$$n^2-4n+2<14$$
$$n^2-4n-12<0$$
$$\left(n-6\right)\left(n+2\right)<0$$
Отсюда
$$-2<n<6$$
Так как $$n$$ — натуральное число, подходят $$n=1,2,3,4,5$$. Таких членов $$5$$.
Ответ: $$5.$$
4. Последовательность стационарна, если $$x_{n+1}=x_n$$ для всех $$n$$. Тогда
$$a=a^2-7a+7$$
$$a^2-8a+7=0$$
$$D=64-28=36$$
$$a_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$a_1=1,\quad a_2=7$$
Ответ: $$1;\,7.$$
