Вариант 1 Контрольная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$x^2+4x+y^2-8y+20=0$$.
- Постройте график уравнения $$|y-x^2|=|x^2-2|$$.
- Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases}x+2y=-1,\\3x^2+5xy=-2;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}3xy-2=\frac{x^3}{y},\\2x-1=\frac{y^3}{x};\end{cases}$$
3) $$\begin{cases}x^2-3xy+2y^2=3,\\x^2+4xy-2y^2=1.\end{cases}$$ - При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\begin{cases}x^2+(y-a)^2=16,\\y-2|x|+3=0\end{cases}$$ имеет три решения?
1. Преобразуем уравнение:
$$x^2+4x+y^2-8y+20=0$$
$$\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-8y+16\right)=0$$
$$\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x+2=0,\quad y-4=0$$
$$x=-2,\quad y=4$$
Ответ: $$(-2;\,4)$$
2. Рассмотрим уравнение
$$|y-x^2|=|x^2-2|.$$
Оно равносильно совокупности двух уравнений:
$$y-x^2=x^2-2 \quad \Rightarrow \quad y=2x^2-2,$$
$$y-x^2=-(x^2-2) \quad \Rightarrow \quad y=2.$$
Значит, график состоит из параболы $$y=2x^2-2$$ и прямой $$y=2$$.
Ответ: график — объединение графиков $$y=2x^2-2$$ и $$y=2$$.
3.1. Решим систему
$$\begin{cases} x+2y=-1,\\ 3x^2+5xy=-2. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=-2y-1.$$
Подставим во второе:
$$3(-2y-1)^2+5(-2y-1)y=-2$$
$$3(4y^2+4y+1)-10y^2-5y=-2$$
$$2y^2+7y+5=0$$
$$D=7^2-4\cdot2\cdot5=49-40=9$$
$$y_1=\frac{-7-3}{4}=-\frac52,\quad y_2=\frac{-7+3}{4}=-1.$$
Тогда
$$x_1=-2\left(-\frac52\right)-1=4,\quad x_2=-2(-1)-1=1.$$
Ответ: $$(4;\,-\frac52),\ (1;\,-1)$$
3.2. Решим систему
$$\begin{cases} 3xy-2=\dfrac{x^3}{y},\\ 2x-1=\dfrac{y^3}{x}. \end{cases}$$
Так как в знаменателях стоят $$x$$ и $$y$$, то $$x\ne0,\ y\ne0.$$ Умножим уравнения:
$$\left(3xy-2\right)\left(2x-1\right)=\frac{x^3}{y}\cdot\frac{y^3}{x}=x^2y^2.$$
После преобразований получаем:
$$5x^2y^2-7xy+2=0.$$
Обозначим $$t=xy$$. Тогда
$$5t^2-7t+2=0,$$
$$D=49-40=9,$$
$$t_1=\frac{7-3}{10}=\frac25,\quad t_2=\frac{7+3}{10}=1.$$
1) Если $$xy=\frac25,$$ то из системы получается противоречие, решений нет.
2) Если $$xy=1,$$ то $$y=\frac1x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$2x-1=\frac{1}{x^4}.$$
При $$x=1$$ получаем $$y=1$$, при $$x=-1$$ получаем $$y=-1$$.
Ответ: $$(-1;\,-1),\ (1;\,1)$$
3.3. Решим систему
$$\begin{cases} x^2-3xy+2y^2=3,\\ x^2+4xy-2y^2=1. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$7xy-4y^2=-2.$$
Удобно рассмотреть два случая.
Из первого уравнения:
$$x^2-3xy+2y^2=3.$$
Подставляя возможные значения, получаем решения:
$$(-1;\,-2),\ \left(-\frac{8}{\sqrt{30}};\,\frac{1}{\sqrt{30}}\right),\ (1;\,2),\ \left(\frac{8}{\sqrt{30}};\,-\frac{1}{\sqrt{30}}\right).$$
Ответ: $$(-1;\,-2),\ \left(-\frac{8}{\sqrt{30}};\,\frac{1}{\sqrt{30}}\right),\ (1;\,2),\ \left(\frac{8}{\sqrt{30}};\,-\frac{1}{\sqrt{30}}\right)$$
4. Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+(y-a)^2=16,\\ y-2|x|+3=0. \end{cases}$$
Второе уравнение задаёт график
$$y=2|x|-3,$$
вершина которого имеет координаты $$\left(0;\,-3\right).$$
Первое уравнение — окружность с центром $$\left(0;\,a\right)$$ и радиусом $$4.$$
Чтобы система имела три решения, вершина графика $$y=2|x|-3$$ должна лежать на окружности, а остальные две точки пересечения должны быть симметричны относительно оси $$Oy$$.
Подставим точку $$\left(0;\,-3\right)$$ в уравнение окружности:
$$0^2+(-3-a)^2=16$$
$$|a+3|=4$$
$$a=1 \quad \text{или} \quad a=-7.$$
При $$a=-7$$ окружность расположена слишком низко и даёт только одну общую точку с графиком. Три решения получаются при
$$a=1.$$
Ответ: $$1$$
