Вариант 1 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{14}{n+10}\cdot C(n+10,n+8)$$.
2. Решите в натуральных числах уравнение $$A(x+2,2)+C(x+4,x+2)=78$$.
3. В классе есть 14 девочек и 16 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 3 девочек и 4 мальчиков для участия в спортивных соревнованиях?
4. Есть 18 шаров, пронумерованных числами от 1 до 18. Сколькими способами можно составить набор из 7 шаров, если шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно входить в набор?

1)

$$\frac{14}{n+10}\cdot C_{n+10}^{\,n+8}=\frac{14}{n+10}\cdot \frac{(n+10)!}{(n+8)!\,2!}$$

$$=\frac{14}{n+10}\cdot \frac{(n+10)(n+9)}{2}=7(n+9).$$

Ответ: $$7(n+9).$$

2)

$$A_{x+2}^{\,2}+C_{x+4}^{\,x+2}=78$$

$$\frac{(x+2)!}{x!}+\frac{(x+4)!}{(x+2)!\,2!}=78$$

$$2(x+2)(x+1)+(x+4)(x+3)=156$$

$$2x^2+6x+4+x^2+7x+12=156$$

$$3x^2+13x-140=0$$

$$D=13^2-4\cdot 3\cdot(-140)=1849=43^2$$

$$x=\frac{-13\pm 43}{6}$$

$$x_1=5,\quad x_2=-\frac{28}{6}=-\frac{14}{3}$$

В натуральных числах подходит только $$x=5.$$

Ответ: $$5.$$

3)

Число способов выбрать команду равно

$$C_{14}^{\,3}\cdot C_{16}^{\,4}=\frac{14!}{11!\,3!}\cdot \frac{16!}{12!\,4!}.$$

$$C_{14}^{\,3}=364,\qquad C_{16}^{\,4}=1820.$$

$$N=364\cdot 1820=662480.$$

Ответ: $$662480.$$

4)

Всего наборов из 7 шаров:

$$C_{18}^{\,7}.$$

Наборы, в которые одновременно входят шары с номерами 8 и 12:

$$C_{16}^{\,5},$$

так как два шара уже выбраны, а остальные $$5$$ берём из оставшихся $$16.$$

Тогда искомое число способов:

$$C_{18}^{\,7}-C_{16}^{\,5}.$$

$$C_{18}^{\,7}=31824,\qquad C_{16}^{\,5}=4368.$$

$$N=31824-4368=27456.$$

Ответ: $$27456.$$