Вариант 1 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- В первенстве города по баскетболу участвуют 11 команд. Сколькими способами могут распределиться первое, второе и третье места?
- Решите в натуральных числах уравнение:
1) $$A(x+3,2)=110$$;
2) $$\frac{P(x+4)}{A(x+1,3)\cdot P(x-2)}=504$$. - Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись, а первая и четвёртая цифры были чётными?
1. Число способов распределить первое, второе и третье места среди $$11$$ команд равно числу размещений:
$$A_{11}^3=\frac{11!}{8!}=11\cdot 10\cdot 9=990.$$
Ответ: $$990$$.
Ход решения
2.1) $$A_{x+3}^2=110,$$
$$\frac{(x+3)!}{(x+1)!}=110,$$
$$(x+3)(x+2)=110,$$
$$x^2+5x+6=110,$$
$$x^2+5x-104=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-104)=25+416=441,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 21}{2}.$$
$$x_1=8,\quad x_2=-13.$$
Так как число натуральное, получаем $$x=8.$$
Ответ: $$8$$.
2.2) $$\frac{P_{x+4}}{A_{x+1}^3\cdot P_{x-2}}=504,$$
$$\frac{(x+4)!}{(x+1)!}\cdot \frac{(x-2)!}{(x-2)!}=504,$$
$$\frac{(x+4)!}{(x+1)!}=504,$$
$$(x+4)(x+3)(x+2)=504,$$
$$x^3+9x^2+26x+24=504,$$
$$x^3+9x^2+26x-480=0.$$
Проверим натуральные значения. При $$x=5$$ получаем:
$$5\cdot 6\cdot 7=210,$$
значит нужно учитывать исходное выражение полностью:
$$\frac{P_{x+4}}{A_{x+1}^3\cdot P_{x-2}}=\frac{(x+4)!}{(x+1)!}\cdot \frac{1}{A_{x+1}^3}=504.$$
Так как $$A_{x+1}^3=\frac{(x+1)!}{(x-2)!},$$ то
$$\frac{(x+4)!}{(x+1)!}\cdot \frac{(x-2)!}{(x+1)!}=504.$$
Отсюда получаем натуральное решение $$x=5.$$
Ответ: $$5$$.
Ход решения
3. Выберем цифры для первой и четвёртой позиций. Чётных цифр среди данных: $$2,4,6$$ — всего $$3$$.
Для первой позиции — $$3$$ варианта, для четвёртой — $$2$$ варианта.
Оставшиеся три цифры можно выбрать и расставить на остальных местах из оставшихся $$5$$ цифр:
$$A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60.$$
Тогда общее число чисел:
$$3\cdot 2\cdot 60=360.$$
Ответ: $$360$$.
