Вариант 1 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $$n$$ выполняется равенство $$1+5+9+\ldots+4n-3=n(2n-1)$$.
2. Докажите неравенство $$4^n>3n+2$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq2$$.
3. Докажите, что для любого натурального $$n$$ значение выражения $$21^n+50\cdot4^n$$ кратно $$17$$.

1. Докажем равенство методом математической индукции.

При $$n=1$$ имеем:

$$1=1\cdot(2\cdot1-1).$$

Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1+5+9+\dots+(4k-3)=k(2k-1).$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$1+5+9+\dots+(4k-3)+\bigl(4(k+1)-3\bigr)=k(2k-1)+4k+1.$$

Преобразуем:

$$k(2k-1)+4k+1=2k^2-k+4k+1=2k^2+3k+1=(k+1)(2k+1).$$

Так как

$$(k+1)(2k+1)=(k+1)\bigl(2(k+1)-1\bigr),$$

то равенство верно и для $$n=k+1$$. Следовательно, оно верно для любого натурального $$n$$.

2. Докажем неравенство $$4^n>3n+2$$ при $$n\ge 2$$.

При $$n=2$$:

$$4^2=16>8=3\cdot2+2.$$

Предположим, что для $$n=k$$ верно:

$$4^k>3k+2.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$4^{k+1}=4\cdot4^k>4(3k+2)=12k+8.$$

Осталось показать, что

$$12k+8\ge 3(k+1)+2=3k+5.$$

Но

$$12k+8-(3k+5)=9k+3>0.$$

Значит, $$4^{k+1}>3(k+1)+2$$. Следовательно, неравенство верно при всех $$n\ge 2$$.

3. Докажем, что число $$21^n+50\cdot4^n$$ кратно $$17$$.

При $$n=1$$:

$$21+50\cdot4=221=17\cdot13,$$

то есть выражение делится на $$17$$.

Предположим, что для $$n=k$$ выражение кратно $$17$$, то есть

$$21^k+50\cdot4^k$$ делится на $$17$$.

Рассмотрим $$n=k+1$$:

$$21^{k+1}+50\cdot4^{k+1} =21\cdot21^k+200\cdot4^k =21(21^k+50\cdot4^k)-850\cdot4^k.$$

Так как $$21\equiv 4 \pmod{17}$$ и $$50\equiv 16 \pmod{17}$$, удобнее записать:

$$21^{k+1}+50\cdot4^{k+1} =21(21^k+50\cdot4^k)+17\cdot4^k.$$

Первое слагаемое делится на $$17$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$17$$. Значит, всё выражение делится на $$17$$.

Следовательно, $$21^n+50\cdot4^n$$ кратно $$17$$ при любом натуральном $$n$$.