Вариант 1 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- На рисунке 1 изображён график функции $$y=f(x)$$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) $$\min(\mathbb{R},f(x));\ \max(\mathbb{R},f(x));$$
5) $$\min([3;4],f(x));\ \max([3;4],f(x)).$$ - Докажите, что функция $$f(x)=\frac{4}{x-1}$$ убывает на промежутке $$(1;+\infty).$$
- Найдите $$\min(D(f),f(x))$$ и $$\max(D(f),f(x))$$, если $$f(x)=3-\sqrt{1-x^2}.$$
- Возрастающая функция $$f$$ определена на множестве $$\mathbb{R}$$. Возрастающей или убывающей является функция $$f(g(x))$$, если $$g(x)=3-2x$$?
- Решите уравнение $$x^3+2\sqrt{2x+5}=14.$$
1) По графику:
- нули функции: $$x=0$$ и $$x=4$$;
- $$f(x)>0$$ при $$0<x<4$$;
- функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$;
- $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max_{\mathbb{R}} f(x)=4$$;
- $$\min_{[3;4]} f(x)=0,$$ $$\max_{[3;4]} f(x)=3.$$
Ход решения
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{4}{x-1}$$ на промежутке $$\left(1;+\infty\right)$$.
Если $$x_2>x_1>1,$$ то
$$x_2-1>x_1-1>0,$$
$$\dfrac{1}{x_2-1}<\dfrac{1}{x_1-1},$$
$$\dfrac{4}{x_2-1}<\dfrac{4}{x_1-1}.$$
Значит, при увеличении аргумента значение функции уменьшается, то есть функция убывает на $$\left(1;+\infty\right).$$
3) $$f(x)=3-\sqrt{1-x^2}.$$
Область определения: $$1-x^2\ge 0,$$ значит $$x\in[-1;1].$$
Так как $$0\le \sqrt{1-x^2}\le 1,$$ то
$$2\le 3-\sqrt{1-x^2}\le 3.$$
Следовательно,
$$\min_{D(f)} f(x)=2,\qquad \max_{D(f)} f(x)=3.$$
4) Функция $$f$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)=3-2x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.
Если $$x_2>x_1,$$ то
$$-2x_2<-2x_1,$$
$$3-2x_2<3-2x_1,$$
$$g(x_2)<g(x_1).$$
Так как $$f$$ возрастает, то из $$g(x_2)<g(x_1)$$ следует
$$f(g(x_2))<f(g(x_1)).$$
Значит, функция $$f(g(x))$$ убывает.
5) Решим уравнение
$$x^3+2\sqrt{2x+5}=14.$$
Перенесём:
$$x^3-14=-2\sqrt{2x+5}.$$
При $$x\ge -\dfrac52$$ левая часть $$x^3-14$$ возрастает, а правая часть $$-2\sqrt{2x+5}$$ убывает. Поэтому уравнение может иметь не более одного решения.
Проверим $$x=2$$:
$$2^3+2\sqrt{2\cdot 2+5}=8+2\sqrt9=8+6=14.$$
Значит, $$x=2$$ — решение уравнения, и оно единственное.
Ответ
1) $$x=0,\;4$$; $$f(x)>0$$ при $$0<x<4$$; возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$; $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max_{\mathbb{R}} f(x)=4$$; $$\min_{[3;4]} f(x)=0,$$ $$\max_{[3;4]} f(x)=3$$.
2) Убывает на $$\left(1;+\infty\right).$$
3) $$\min_{D(f)} f(x)=2,\quad \max_{D(f)} f(x)=3.$$
4) Убывает.
5) $$x=2.$$
