Вариант 1 Контрольная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) $$9x^2-10x+1\ge 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-10)^2-4\cdot 9\cdot 1=100-36=64$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2\cdot 9}$$

$$x_1=\frac{1}{9},\qquad x_2=1$$

Так как старший коэффициент положительный, то

$$9x^2-10x+1\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le \frac19 \ \text{или}\ x\ge 1.$$

Ответ: $$(-\infty;\tfrac19]\cup[1;+\infty).$$

2) $$16x^2-8x+1\le 0$$

$$16x^2-8x+1=(4x-1)^2$$

Квадрат неотрицателен, значит равен нулю только при

$$4x-1=0,\qquad x=\frac14.$$

Ответ: $$\frac14.$$

3) $$-3x^2+2x-7<0$$

Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:

$$3x^2-2x+7>0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 7=4-84=-80<0$$

Так как $$a=3>0$$ и дискриминант отрицателен, выражение положительно при всех $$x$$. Значит исходное неравенство верно при всех действительных числах.

Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$

2.

$$f(x)=\frac{\sqrt{14+5x-x^2}}{x^2+x-6}$$

Для области определения нужно:

$$14+5x-x^2\ge 0,\qquad x^2+x-6\ne 0.$$

1) $$14+5x-x^2\ge 0 \iff x^2-5x-14\le 0$$

$$x^2-5x-14=(x+2)(x-7)$$

Отсюда

$$x\in[-2;7].$$

2) $$x^2+x-6\ne 0 \iff (x+3)(x-2)\ne 0$$

$$x\ne -3,\qquad x\ne 2.$$

Пересекаем условия:

$$D(f)=[-2;7]\setminus\{2\}=[-2;2)\cup(2;7].$$

Ответ: $$[-2;2)\cup(2;7].$$

3.

$$\begin{cases} x^2-2x+3>0,\\ |x-1|\le 4 \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$$

Так как $$a=1>0$$, то $$x^2-2x+3>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.

Второе неравенство:

$$|x-1|\le 4 \iff -4\le x-1\le 4$$

$$-3\le x\le 5$$

Следовательно, решение системы:

$$x\in[-3;5].$$

Ответ: $$[-3;5].$$

4.

1) $$(x+11)(x-3)(x+4)<0$$

Нули: $$x=-11,\,-4,\,3.$$ По методу интервалов получаем:

$$(-\infty;-11)\cup(-4;3).$$

Ответ: $$(-\infty;-11)\cup(-4;3).$$

2) $$(x+1)(5-x)(x+4)^2\ge 0$$

Так как $$(x+4)^2\ge 0$$ при всех $$x$$, то достаточно рассмотреть знак произведения $$(x+1)(5-x)$$, а также учесть точку $$x=-4$$.

$$(x+1)(5-x)\ge 0 \iff -1\le x\le 5.$$

Кроме того, $$x=-4$$ тоже подходит, так как обращает квадратный множитель в ноль.

Ответ: $$\{-4\}\cup[-1;5].$$

3) $$\frac{x}{x+1}-\frac{3}{x-3}+\frac{6x-1}{x^2-2x-3}\ge 0$$

ОДЗ: $$x\ne -1,\ x\ne 3.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(x-3)-3(x+1)+(6x-1)}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$

$$\frac{x^2-3x-3x-3+6x-1}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$

$$\frac{x^2-4}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$

По методу интервалов:

$$(-\infty;-2]\cup(-1;2]\cup(3;+\infty).$$

Ответ: $$(-\infty;-2]\cup(-1;2]\cup(3;+\infty).$$

5.

1) $$|x^2+3x+1|<2x+3$$

Правая часть должна быть положительной:

$$2x+3>0 \iff x>-\frac32.$$

Тогда

$$-(2x+3)<x^2+3x+1<2x+3$$

Решаем систему:

$$x^2+5x+4>0 \iff (x+4)(x+1)>0 \iff x<-4 \ \text{или}\ x>-1,$$

$$x^2+x-2<0 \iff (x+2)(x-1)<0 \iff -2<x<1.$$

Пересечение с условием $$x>-\frac32$$ даёт

$$(-1;1).$$

Ответ: $$(-1;1).$$

2) $$|x^2+2x-10|>4-3x$$

Если $$4-3x<0$$, то неравенство выполняется автоматически, то есть при $$x>\frac43$$.

Если $$4-3x\ge 0$$, то

$$x^2+2x-10>4-3x \quad \text{или} \quad x^2+2x-10<-4+3x.$$

1) $$x^2+5x-14>0 \iff (x+7)(x-2)>0 \iff x<-7 \ \text{или}\ x>2.$$

2) $$x^2-x-6<0 \iff (x-3)(x+2)<0 \iff -2<x<3.$$

Объединяя решения, получаем:

Ответ: $$(-\infty;-7)\cup(-2;+\infty).$$

6.

Рассмотрим уравнение

$$x^2-4ax+4a^2-a-10=0.$$

Чтобы все его корни были меньше $$1$$, сделаем замену $$x=t+1$$, где $$t<0$$.

Подставим:

$$(t+1)^2-4a(t+1)+4a^2-a-10=0$$

$$t^2+(2-4a)t+(4a^2-5a-9)=0.$$

Все корни этого уравнения должны быть отрицательными. Для квадратного уравнения с положительным старшим коэффициентом это возможно, если:

• сумма корней отрицательна;
• произведение корней положительно;
• дискриминант неотрицателен.

По формулам Виета:

$$t_1+t_2=4a-2<0 \iff a<\frac12,$$

$$t_1t_2=4a^2-5a-9>0,$$

$$D=(2-4a)^2-4(4a^2-5a-9)=4(a+10)\ge 0 \iff a\ge -10.$$

Решим неравенство для произведения:

$$4a^2-5a-9>0$$

$$(4a+? )$$

Удобнее разложить на множители:

$$4a^2-5a-9=(4a+? )$$

$$D_a=25+144=169,$$

$$a_{1,2}=\frac{5\pm 13}{8}$$

$$a_1=-1,\qquad a_2=\frac94.$$

Тогда

$$4a^2-5a-9>0 \iff a<-1 \ \text{или}\ a>\frac94.$$

С учётом условия $$a<\frac12$$ остаётся

$$a<-1.$$

И вместе с $$a\ge -10$$ получаем

$$a\in[-10;-1).$$

Ответ: $$[-10;-1).$$