Вариант 1 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Пусть $$x$$ км/ч — скорость легкового автомобиля, $$y$$ км/ч — скорость грузового.

Тогда за $$2\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{5}{2}\text{ ч}$$ они вместе проехали $$300$$ км:

$$\frac{5}{2}(x+y)=300,$$

откуда

$$x+y=120.$$

Время движения по отдельности:

$$\frac{300}{x} \text{ и } \frac{300}{y}.$$

По условию грузовик затратил на путь на $$3\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{15}{4}\text{ ч}$$ больше:

$$\frac{300}{y}-\frac{300}{x}=\frac{15}{4}.$$

Подставим $$y=120-x$$:

$$\frac{300}{120-x}-\frac{300}{x}=\frac{15}{4}.$$

Умножим на $$4x(120-x)$$:

$$1200x-1200(120-x)=15x(120-x),$$

$$80x-80(120-x)=x(120-x),$$

$$x^2+40x-9600=0.$$

$$D=40^2+4\cdot 9600=40000,$$

$$x=\frac{-40\pm 200}{2}.$$

Получаем $$x=80$$ или $$x=-120$$. Скорость не может быть отрицательной, значит $$x=80$$.

Тогда

$$y=120-80=40.$$

2) Пусть $$x$$ ч — время наполнения бассейна через первую трубу, $$y$$ ч — через вторую.

Если открыть обе трубы одновременно, то их совместная производительность равна

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2\text{ ч }24\text{ мин}}=\frac{1}{\frac{12}{5}}=\frac{5}{12}.$$

Значит,

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}.$$

Если сначала через первую трубу наполнить $$\frac13$$ бассейна, а потом через вторую — оставшуюся часть, то

$$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=6,$$

откуда

$$x+2y=18.$$

Тогда $$x=18-2y$$, и подставим в первое уравнение:

$$\frac{1}{18-2y}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}.$$

Умножим на $$12y(18-2y)$$:

$$12y+12(18-2y)=5y(18-2y),$$

$$12y+216-24y=90y-10y^2,$$

$$10y^2-102y+216=0,$$

$$5y^2-51y+108=0.$$

$$D=51^2-4\cdot 5\cdot 108=441,$$

$$y=\frac{51\pm 21}{10}.$$

Получаем $$y=3$$ или $$y=7{,}2$$.

Тогда

$$x=18-2y,$$

то есть $$x=12$$ или $$x=3{,}6.$$

Следовательно, бассейн можно наполнить:

через первую трубу — за $$12$$ ч или $$3\text{ ч }36\text{ мин}$$;

через вторую трубу — за $$3$$ ч или $$7\text{ ч }12\text{ мин}.$$

3) Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго сплава.

Тогда

$$x+y=40,$$

$$y=40-x.$$

В первом сплаве меди $$\frac25$$, цинка $$\frac35$$; во втором — меди $$\frac15$$, цинка $$\frac45$$.

В новом сплаве отношение меди к цинку равно $$1:3$$, значит меди должно быть $$\frac14\cdot 40=10$$ кг.

Составим уравнение по меди:

$$\frac25x+\frac15y=10.$$

Подставим $$y=40-x$$:

$$\frac25x+\frac15(40-x)=10,$$

$$\frac15x+8=10,$$

$$\frac15x=2,$$

$$x=10.$$

Тогда

$$y=40-10=30.$$

Ответ: 1) $$80$$ км/ч и $$40$$ км/ч; 2) $$12$$ ч и $$3$$ ч, $$3\text{ ч }36\text{ мин}$$ и $$7\text{ ч }12\text{ мин}$$; 3) $$10$$ кг и $$30$$ кг.