Вариант 1 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ докажите неравенство $$\frac{a}{12b}+\frac{27b}{a}\geq 3$$.
2. При $$x>2$$ докажите неравенство $$x+\frac{1}{x-2}\geq 4$$.
3. Известно, что $$a^2+b^2=12$$, $$c^2+d^2=3$$. Докажите, что $$|ac+bd|\leq 6$$.
4. Известно, что $$x+y=1$$. Докажите, что $$\sqrt{x^2+9y^2}+\sqrt{y^2+9x^2}\geq 2\sqrt{2}$$.

1) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел $$\frac{a}{12b}$$ и $$\frac{27b}{a}$$ имеем:

$$\frac{a}{12b}+\frac{27b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{12b}\cdot\frac{27b}{a}}=2\sqrt{\frac{27}{12}}=2\sqrt{\frac94}=3.$$

Следовательно, $$\frac{a}{12b}+\frac{27b}{a}\ge 3.$$

2) При $$x>2$$ числа $$x-2$$ и $$\frac{1}{x-2}$$ положительны. Тогда

$$x-2+\frac{1}{x-2}\ge 2\sqrt{(x-2)\cdot\frac{1}{x-2}}=2.$$

Значит,

$$x-2+\frac{1}{x-2}\ge 2.$$

3) По неравенству Коши-Буняковского:

$$|ac+bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.$$

С учётом условий $$a^2+b^2=12$$ и $$c^2+d^2=3$$ получаем:

$$|ac+bd|\le \sqrt{12}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{36}=6.$$

Следовательно, $$|ac+bd|\le 6.$$

4) Так как $$x+y=1$$, то

$$\sqrt{x^2+9y^2}+\sqrt{y^2+9x^2}\ge \frac{x+3y}{\sqrt2}+\frac{y+3x}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$\frac{x+3y+y+3x}{\sqrt2}=\frac{4(x+y)}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2.$$

Значит,

$$\sqrt{x^2+9y^2}+\sqrt{y^2+9x^2}\ge 2\sqrt2.$$