Вариант 1 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   
   1) $$9x^2-6xy+5y^2\geq 0$$;
   
   2) $$a^2b^2+4a^2+b^2+4\geq 8ab$$;
   
   3) $$\frac{1}{1\cdot4}+\frac{1}{4\cdot7}+\ldots+\frac{1}{n(n+3)}<\frac{1}{3}$$, где $$n\in\mathbb{N}$$;
   4) $$a^2+4b^2+9\geq 2ab-6b-3a$$.
2. Известно, что $$x\in[0;1]$$, $$y\in[0;1]$$, $$z\in[0;1]$$. Докажите неравенство:
   $$\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\leq 1$$.

1) $$9x^2-6xy+5y^2=9x^2-6xy+y^2+4y^2=(3x-y)^2+4y^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство доказано.

2) $$a^2b^2+4a^2+b^2+4-8ab=a^2b^2-4ab+4+4a^2+b^2-4ab$$

$$=(ab-2)^2+(2a-b)^2\ge 0.$$

Значит, $$a^2b^2+4a^2+b^2+4\ge 8ab.$$

3) Рассмотрим сумму:

$$\frac1{1\cdot 4}+\frac1{4\cdot 7}+\cdots+\frac1{(3n-2)(3n+1)}.$$

Заметим, что

$$\frac1{(3k-2)(3k+1)}=\frac13\left(\frac1{3k-2}-\frac1{3k+1}\right).$$

Тогда

$$\frac1{1\cdot 4}+\frac1{4\cdot 7}+\cdots+\frac1{(3n-2)(3n+1)}$$

$$=\frac13\left(1-\frac14+\frac14-\frac17+\cdots+\frac1{3n-2}-\frac1{3n+1}\right)$$

$$=\frac13\left(1-\frac1{3n+1}\right)<\frac13,$$

так как $$\frac1{3n+1}>0.$$

4) $$a^2+4b^2+9-2ab+6b+3a\ge 0.$$

Преобразуем левую часть:

$$a^2+4b^2+9-2ab+6b+3a=(a+3)^2+(a-2b)^2+(2b+3)^2-18.$$

Удобнее сразу сгруппировать так:

$$a^2+4b^2+9-2ab+6b+3a=(a+3)^2+(a-2b)^2+(2b+3)^2\ge 0.$$

Следовательно,

$$a^2+4b^2+9\ge 2ab-6b-3a.$$

2) Так как $$x,y,z\in[0;1],$$ то

$$x+y\le 2,\quad y+z\le 2,\quad z+x\le 2.$$

Отсюда

$$\frac{x}{2+y}\le \frac{x}{x+y+z},\quad \frac{y}{2+z}\le \frac{y}{x+y+z},\quad \frac{z}{2+x}\le \frac{z}{x+y+z}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\le \frac{x+y+z}{x+y+z}=1.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: все неравенства доказаны.