Вариант 1 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2\le 5,\\ xy<2. \end{cases}$$

Первое неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt5$$, включая границу.

Второе неравенство задаёт область, лежащую по одну сторону от гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$: при $$x>0$$ имеем $$y<\dfrac{2}{x}$$, при $$x<0$$ — $$y>\dfrac{2}{x}$$.

Искомое множество — пересечение круга $$x^2+y^2\le 5$$ с областью $$xy<2$$.

2)

1) $$|x-2y|<4$$

$$-4<x-2y<4$$

$$-x-4<-2y<-x+4$$

$$\frac12x-2<y<\frac12x+2$$

Это полоса между прямыми $$y=\frac12x-2$$ и $$y=\frac12x+2$$ без границ.

2) $$\sqrt{2x+y}<\sqrt{3x-y-1}$$

Так как функция корня возрастает, то при выполнении области определения получаем

$$2x+y<3x-y-1$$

$$2y<x-1$$

$$y<\frac12x-\frac12$$

Область определения:

$$\begin{cases} 2x+y\ge 0,\\ 3x-y-1\ge 0. \end{cases}$$

То есть

$$y\ge -2x,\qquad y\le 3x-1.$$

Искомая область — пересечение трёх неравенств:

$$\begin{cases} y\ge -2x,\\ y\le 3x-1,\\ y<\frac12x-\frac12. \end{cases}$$

3) $$\max\{3x,2\}=y+1$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$3x\ge 2$$, то $$\max\{3x,2\}=3x$$, значит
   $$3x=y+1,\qquad y=3x-1.$$
2. Если $$3x<2$$, то $$\max\{3x,2\}=2$$, значит
   $$2=y+1,\qquad y=1.$$

Следовательно, множество точек состоит из двух частей:

$$\begin{cases} y=1, & x<\dfrac23,\\ y=3x-1, & x\ge \dfrac23. \end{cases}$$

Ответ

1) $$\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 5,\ xy<2\}$$.

2) 1) $$\frac12x-2<y<\frac12x+2$$; 2) $$\begin{cases}y\ge -2x,\\ y\le 3x-1,\\ y<\frac12x-\frac12.\end{cases}$$

3) $$y=1$$ при $$x<\dfrac23$$ и $$y=3x-1$$ при $$x\ge \dfrac23$$.