Вариант 1 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда

$$t+\frac{1}{t}=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2t$$:

$$2t^2-5t+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

1) Если $$\frac{x}{y}=\frac12,$$ то $$y=2x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$2x-3\cdot 2x=3,$$

$$-4x=3,\qquad x=-\frac34,\qquad y=-\frac32.$$

2) Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$2\cdot 2y-3y=3,$$

$$y=3,\qquad x=6.$$

Ответ: $$\left(-\frac34;\,-\frac32\right),\ (6;\,3).$$

2)

Из второго уравнения имеем

$$y^2=5-x^2.$$

Подставим в первое:

$$\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y^2-2}=3,$$

$$\sqrt{x^2+2}+\sqrt{3-x^2}=3.$$

Обозначим $$a=\sqrt{x^2+2},\ b=\sqrt{3-x^2}.$$ Тогда $$a+b=3$$ и

$$a^2+b^2=(x^2+2)+(3-x^2)=5.$$

Следовательно,

$$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{9-5}{2}=2.$$

Тогда

$$\sqrt{(x^2+2)(3-x^2)}=2,$$

$$(x^2+2)(3-x^2)=4.$$

$$-x^4+x^2+6=4,$$

$$x^4-x^2-2=0.$$

Положим $$u=x^2$$. Тогда

$$u^2-u-2=0,$$

$$(u-2)(u+1)=0,$$

$$u=2 \text{ или } u=-1.$$

Так как $$u=x^2\ge 0,$$ получаем $$x^2=2,$$ значит

$$x=\pm\sqrt2.$$

Тогда

$$y^2=5-2=3,\qquad y=\pm\sqrt3.$$

Подходят все сочетания знаков:

Ответ: $$(-\sqrt2;\,-\sqrt3),\ (-\sqrt2;\,\sqrt3),\ (\sqrt2;\,-\sqrt3),\ (\sqrt2;\,\sqrt3).$$

3)

Первое уравнение:

$$x^2-5xy+6y^2=0.$$

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$x^2-5yx+6y^2=0.$$

$$D=25y^2-24y^2=y^2,$$

$$x=\frac{5y\pm y}{2}.$$

Отсюда

$$x=2y \text{ или } x=3y.$$

1) Если $$x=2y,$$ то из второго уравнения:

$$3(2y)^2+2(2y)y-y^2=15,$$

$$12y^2+4y^2-y^2=15,$$

$$15y^2=15,\qquad y^2=1.$$

Тогда $$y=\pm1,$$ $$x=\pm2.$$

2) Если $$x=3y,$$ то

$$3(3y)^2+2(3y)y-y^2=15,$$

$$27y^2+6y^2-y^2=15,$$

$$32y^2=15,\qquad y^2=\frac{15}{32}.$$

Тогда

$$y=\pm\frac{\sqrt{30}}{8},\qquad x=\pm\frac{3\sqrt{30}}{8}.$$

Ответ: $$(-2;\,-1),\ (2;\,1),\ \left(-\frac{3\sqrt{30}}{8};\,-\frac{\sqrt{30}}{8}\right),\ \left(\frac{3\sqrt{30}}{8};\ \frac{\sqrt{30}}{8}\right).$$

4)

Пусть $$u=x+y,$$ $$t=xy.$$ Тогда система принимает вид

$$u-t=-2,$$

$$ut=48.$$

Из первого уравнения $$u=t-2.$$ Подставим во второе:

$$t(t-2)=48,$$

$$t^2-2t-48=0,$$

$$D=196,$$

$$t_1=-6,\qquad t_2=8.$$

1) Если $$t=-6,$$ то $$u=-8.$$ Тогда

$$x+y=-8,\qquad xy=-6.$$

Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$z^2+8z-6=0.$$

$$D=88,$$

$$z=-4\pm\sqrt{22}.$$

Значит, получаем пару

$$(-4+\sqrt{22};\,-4-\sqrt{22})$$

или

$$(-4-\sqrt{22};\,-4+\sqrt{22}).$$

2) Если $$t=8,$$ то $$u=6.$$ Тогда

$$x+y=6,\qquad xy=8.$$

Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$z^2-6z+8=0,$$

$$z=2 \text{ или } z=4.$$

Получаем пары $$(2;\,4)$$ и $$(4;\,2).$$

Ответ: $$(2;\,4),\ (4;\,2),\ (-4+\sqrt{22};\,-4-\sqrt{22}),\ (-4-\sqrt{22};\,-4+\sqrt{22}).$$