Вариант 1 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
- $$\begin{cases}x^2-xy+y=3,\\3y-x=4;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}x^2-xy=2,\\4y^2-3xy=7;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}(x-3)(y+1)=0,\\x^2+3y^2-2xy=18;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}x^2y^2-xy^3=30,\\x^3y-x^2y^2=180.\end{cases}$$
1) Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$3y-x=4 \Rightarrow x=3y-4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(3y-4)^2-y(3y-4)+y=3$$
$$9y^2-24y+16-3y^2+4y+y=3$$
$$6y^2-19y+13=0$$
$$D=19^2-4\cdot 6\cdot 13=361-312=49$$
$$y_{1,2}=\frac{19\pm 7}{12}$$
$$y_1=1,\quad y_2=\frac{13}{6}$$
Тогда
$$x_1=3\cdot 1-4=-1,\quad x_2=3\cdot \frac{13}{6}-4=\frac{5}{2}.$$
Ответ: $$(-1;1),\left(\frac{5}{2};\frac{13}{6}\right).$$
2) Из первого уравнения:
$$(x-3)(y+1)=0 \Rightarrow x=3 \text{ или } y=-1.$$
1-й случай: $$x=3$$.
Подставим во второе уравнение:
$$3^2+3y^2-2\cdot 3y=18$$
$$9+3y^2-6y=18$$
$$3y^2-6y-9=0$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$(y-3)(y+1)=0$$
$$y=3 \text{ или } y=-1.$$
Получаем точки $$(3;3)$$ и $$(3;-1)$$.
2-й случай: $$y=-1$$.
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+3\cdot (-1)^2-2x(-1)=18$$
$$x^2+2x-15=0$$
$$(x+5)(x-3)=0$$
$$x=-5 \text{ или } x=3.$$
Получаем точки $$(-5;-1)$$ и $$(3;-1)$$.
Ответ: $$(3;3),\ (3;-1),\ (-5;-1).$$
3) Сложим уравнения системы:
$$x^2-xy+2+4y^2-3xy=9$$
$$x^2-4xy+4y^2=9$$
$$(x-2y)^2=9$$
$$x-2y=\pm 3$$
Рассмотрим два случая.
1-й случай: $$x=2y+3$$.
Подставим в первое уравнение:
$$(2y+3)^2-y(2y+3)=2$$
$$4y^2+12y+9-2y^2-3y=2$$
$$2y^2+9y+7=0$$
$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 7=81-56=25$$
$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 5}{4}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=-\frac{7}{2}$$
Тогда
$$x_1=2\cdot (-1)+3=1,\quad x_2=2\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+3=-4.$$
2-й случай: $$x=2y-3$$.
Подставим в первое уравнение:
$$(2y-3)^2-y(2y-3)=2$$
$$4y^2-12y+9-2y^2+3y=2$$
$$2y^2-9y+7=0$$
$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 7=25$$
$$y_{3,4}=\frac{9\pm 5}{4}$$
$$y_3=1,\quad y_4=\frac{7}{2}$$
Тогда
$$x_3=2\cdot 1-3=-1,\quad x_4=2\cdot \frac{7}{2}-3=4.$$
Ответ: $$(-4;-\frac{7}{2}),\ (1;-1),\ (-1;1),\ (4;\frac{7}{2}).$$
4) Вынесем общий множитель:
$$x^2y^2-xy^3=xy^2(x-y)=30,$$
$$x^3y-x^2y^2=x^2y(x-y)=180.$$
Разделим второе уравнение на первое:
$$\frac{x^2y(x-y)}{xy^2(x-y)}=\frac{180}{30}$$
$$\frac{x}{y}=6 \Rightarrow x=6y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(6y)^2y^2-6y\cdot y^3=30$$
$$36y^4-6y^4=30$$
$$30y^4=30$$
$$y^4=1 \Rightarrow y=\pm 1.$$
Тогда
$$x=6y \Rightarrow x=6 \text{ или } x=-6.$$
Ответ: $$(-6;-1),\ (6;1).$$
