Вариант 1 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Из первого уравнения получаем окружность с центром в начале координат и радиусом $$R=\sqrt{17}.$$

Из второго уравнения:

$$xy=-4 \quad \Rightarrow \quad y=-\frac{4}{x}.$$

Точки пересечения графиков удовлетворяют системе. Подбором получаем:

$$(-4;1),\;(-1;4),\;(1;-4),\;(4;-1).$$

2. Из первого уравнения:

$$|y|=-x \quad \Rightarrow \quad x=-|y|.$$

Это график из двух лучей:

$$y=x \text{ при } x\le 0,\qquad y=-x \text{ при } x\le 0.$$

Второе уравнение задаёт параболу

$$y=x^2-2x-1,$$

её вершина:

$$x_0=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=1,\qquad y_0=1-2-1=-2.$$

По графику видно, что парабола пересекает график первого уравнения в двух точках.

3. Преобразуем уравнения к виду функций:

$$2x+ay=8-a \quad \Rightarrow \quad y=-\frac{2}{a}x+\frac{8}{a}-1,$$

$$ax+8y=8 \quad \Rightarrow \quad y=-\frac{a}{8}x+1.$$

Система имеет:

• одно решение, если прямые пересекаются;
• нет решений, если прямые параллельны и различны;
• бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Для параллельности нужно равенство угловых коэффициентов:

$$-\frac{2}{a}=-\frac{a}{8} \quad \Rightarrow \quad a^2=16 \quad \Rightarrow \quad a=\pm 4.$$

Проверим:

• при $$a=4$$ получаем одинаковые уравнения, значит, решений бесконечно много;
• при $$a=-4$$ прямые параллельны и различны, значит, решений нет.

При всех остальных значениях $$a$$ прямые пересекаются, значит, решение одно.

Ответ

1) $$(-4;1),\;(-1;4),\;(1;-4),\;(4;-1).$$

2) $$2$$ решения.

3) Если $$a\ne \pm 4$$, то одно решение; если $$a=-4$$, то решений нет; если $$a=4$$, то бесконечно много решений.