Вариант 1 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график уравнения:
   
   1) $$x^2+y^2+2x-6y+10=0$$;
   
   3) $$|y-2|=vx$$;
   
   2) $$4x^2-y^2=0$$;
   
   4) $$\frac{x^2+y^2-16}{x^2-9}=0$$.
2. Решите уравнение $$\left(x^2-8x+17\right)\left(y^2+2y+4\right)=3$$.

1) $$x^2+y^2+2x-6y+10=0$$

$$x^2+2x+1+y^2-6y+9=0$$

$$\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=0$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x+1=0,\quad y-3=0$$

$$x=-1,\quad y=3$$

График — одна точка $$(-1;\,3)$$.

2) $$4x^2-y^2=0$$

$$y^2=4x^2$$

$$|y|=2|x|$$

Отсюда получаем две прямые:

$$y=2x \quad \text{и} \quad y=-2x$$

График — две пересекающиеся в начале координат прямые.

3) $$|y-2|=\sqrt{x}$$

Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, то

$$y-2=\sqrt{x}\quad \text{или}\quad 2-y=\sqrt{x}$$

Следовательно,

$$y=\sqrt{x}+2 \quad \text{и} \quad y=2-\sqrt{x}$$

График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $$y=2$$.

4) $$\dfrac{x^2+y^2-16}{x^2-9}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2+y^2-16=0,\quad x^2-9\ne 0$$

$$x^2+y^2=16,\quad x\ne \pm 3$$

Это окружность радиуса $$4$$ с центром в начале координат, из которой исключены точки при $$x=\pm 3$$, то есть точки $$\left(3;\, \pm\sqrt7\right)$$ и $$\left(-3;\, \pm\sqrt7\right)$$.

Ответ

1) $$(-1;\,3)$$; 2) $$y=2x$$ и $$y=-2x$$; 3) $$y=\sqrt{x}+2$$ и $$y=2-\sqrt{x}$$, $$x\ge 0$$; 4) $$x^2+y^2=16,\ x\ne \pm 3$$.

2) $$\left(x^2-8x+17\right)\left(y^2+2y+4\right)=3$$

Заметим, что

$$x^2-8x+17=\left(x-4\right)^2+1\ge 1$$

$$y^2+2y+4=\left(y+1\right)^2+3\ge 3$$

Тогда

$$\left(x^2-8x+17\right)\left(y^2+2y+4\right)\ge 1\cdot 3=3$$

Равенство возможно только при

$$\left(x-4\right)^2=0,\quad \left(y+1\right)^2=0$$

$$x=4,\quad y=-1$$

Ответ

$$\left(4;\,-1\right)$$