Вариант 1 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ все корни уравнения $$x^2-(2a+3)x+6a=0$$ принадлежат промежутку $$(1; 4)$$?
- Найдите все значения параметра $$a$$, при которых один из корней квадратного уравнения $$ax^2+x-3=0$$ больше $$2$$, а другой меньше $$2$$.
- При каких значениях параметра $$a$$ корни уравнения $$x^2-(2a+6)x+a^2-5a+6=0$$ являются положительными числами?
Рассмотрим уравнение $$x^2-(2a+3)x+6a=0.$$
Найдём его корни:
$$D=(2a+3)^2-24a=4a^2-12a+9=(2a-3)^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{2a+3\pm(2a-3)}{2},$$
откуда
$$x_1=3,\qquad x_2=2a.$$
Чтобы оба корня принадлежали промежутку $$\left(1;4\right),$$ нужно, чтобы
$$1<3<4 \quad \text{и} \quad 1<2a<4.$$
Первое условие выполняется всегда, а из второго получаем
$$\frac12<a<2.$$
Рассмотрим уравнение $$ax^2+x-3=0.$$
Пусть один корень больше $$2,$$ а другой меньше $$2.$$ Тогда число $$2$$ лежит между корнями, значит
$$f(2)<0,$$
где $$f(x)=ax^2+x-3.$$
Вычислим:
$$f(2)=4a+2-3=4a-1.$$
Получаем
$$4a-1<0,\qquad a<\frac14.$$
При этом уравнение должно быть квадратным, значит $$a\ne 0.$$
Итак,
$$a\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;\frac14\right).$$
Рассмотрим уравнение $$x^2-(2a+6)x+a^2-5a+6=0.$$
Чтобы оба корня были положительными, нужно и достаточно, чтобы выполнялись условия:
$$D\ge 0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1x_2>0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2a+6)^2-4(a^2-5a+6)=44a+12.$$
Тогда
$$44a+12\ge 0,\qquad a\ge -\frac{3}{11}.$$
Сумма корней:
$$x_1+x_2=2a+6>0,\qquad a>-3.$$
Произведение корней:
$$x_1x_2=a^2-5a+6=(a-2)(a-3)>0,$$
откуда
$$a<2 \quad \text{или} \quad a>3.$$
Пересекаем все условия:
$$a\ge -\frac{3}{11},\qquad a>-3,\qquad (a<2 \ \text{или}\ a>3).$$
Получаем
$$a\in\left[-\frac{3}{11};2\right)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$\left(\frac12;2\right)$$
2) $$\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;\frac14\right)$$
3) $$\left[-\frac{3}{11};2\right)\cup(3;+\infty)$$
