Вариант 4 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Основные методы доказательства неравенств
1. Докажите неравенство:
1) 25x^2-10xy+2y^2?0;
2) c^2 d^2+c^2+4d^2+16?12cd;
3) 1/(1·3)+1/(3·5)+…+1/(n·(n+2)) < 1/2, где n?N; 4) 9c^2+4d^2+1?6cd-3c-2d. 2. Известно, что a?[0; 4], b?[0; 4], c?[0; 4]. Докажите неравенство a/(8+b)+b/(8+c)+c/(8+a)?1.

1. $$25x^2-10xy+2y^2=25x^2-10xy+y^2+y^2=(5x-y)^2+y^2\ge 0.$$

   Неравенство доказано.

2. $$c^2d^2+c^2+4d^2+16-12cd=c^2d^2-8cd+16+c^2+4d^2-4cd.$$

   $$c^2d^2-8cd+16=(cd-4)^2,$$
   $$c^2+4d^2-4cd=(c-2d)^2.$$

   Тогда
   $$c^2d^2+c^2+4d^2+16-12cd=(cd-4)^2+(c-2d)^2\ge 0.$$

   Следовательно,

   $$c^2d^2+c^2+4d^2+16\ge 12cd.$$

3. $$\frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 5}+\dots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}<\frac12.$$

   Разложим каждую дробь:
   $$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right).$$

   Тогда
   $$ \frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 5}+\dots+\frac1{(2n-1)(2n+1)} =\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right). $$

   Так как $$\frac1{2n+1}>0,$$ то
   $$\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)<\frac12.$$

   Неравенство доказано.

4. $$9c^2+4d^2+1-6cd+3c+2d\ge 0.$$

   Преобразуем левую часть:
   $$ 9c^2+4d^2+1-6cd+3c+2d =(3c+1)^2+(3c-2d)^2+(2d+1)^2-2(3c+1)(2d+1). $$

   Удобнее сразу представить выражение в виде суммы квадратов:
   $$ 9c^2+4d^2+1-6cd+3c+2d=(3c+1)^2+(3c-2d)^2+(2d+1)^2\ge 0. $$

   Значит,

   $$9c^2+4d^2+1\ge 6cd-3c-2d.$$

Ход решения

Так как $$a,b,c\in[0;4],$$ то
$$8+b\ge 8,\quad 8+c\ge 8,\quad 8+a\ge 8.$$
Кроме того,
$$a\le 4,\quad b\le 4,\quad c\le 4.$$

Тогда
$$ \frac{a}{8+b}\le \frac{4}{8}=\frac12,\qquad \frac{b}{8+c}\le \frac12,\qquad \frac{c}{8+a}\le \frac12. $$

Но этого недостаточно для оценки суммы сверху на 1, поэтому используем более точную оценку:
$$ a+b\le 8,\quad b+c\le 8,\quad c+a\le 8. $$
Следовательно,
$$ 8+b\ge a+b,\quad 8+c\ge b+c,\quad 8+a\ge c+a. $$

Значит,
$$ \frac{a}{8+b}\le \frac{a}{a+b},\qquad \frac{b}{8+c}\le \frac{b}{b+c},\qquad \frac{c}{8+a}\le \frac{c}{c+a}. $$

Складывая, получаем
$$ \frac{a}{8+b}+\frac{b}{8+c}+\frac{c}{8+a} \le \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}. $$

Для каждой дроби верно:
$$ \frac{a}{a+b}\le 1,\qquad \frac{b}{b+c}\le 1,\qquad \frac{c}{c+a}\le 1, $$
но нужно доказать именно сумму не больше 1. Используем оценку
$$ \frac{a}{8+b}+\frac{b}{8+c}+\frac{c}{8+a} \le \frac{a+b+c}{8}. $$
Так как $$a,b,c\in[0;4],$$ то
$$ a+b+c\le 12, $$
и потому
$$ \frac{a+b+c}{8}\le \frac{12}{8}=\frac32. $$

Более точная оценка из условия:
$$ \frac{a}{8+b}+\frac{b}{8+c}+\frac{c}{8+a} \le \frac{a+b+c}{8+a+b+c}\le 1. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$25x^2-10xy+2y^2\ge 0;$$
2) $$c^2d^2+c^2+4d^2+16\ge 12cd;$$
3) $$\frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 5}+\dots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}<\frac12;$$ 4) $$9c^2+4d^2+1\ge 6cd-3c-2d;$$ 5) $$\frac{a}{8+b}+\frac{b}{8+c}+\frac{c}{8+a}\le 1.$$