Вариант 4 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными
Решите систему уравнений:
1) {x/y+y/x=10/3, 3x-2y=7}; 3) {x^2-xy-20y^2=0, x^2+2xy-3y^2=32};
2) {v(x^2+8)+v(y^2-8)=6, x^2+y^2=20}; 4) {x-y-xy=17, xy(x-y)=-70}.

1. $$\begin{cases}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{10}{3},\\ 3x-2y=7.\end{cases}$$

   Пусть $$t=\dfrac{x}{y}$$, тогда

   $$t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{10}{3} \;\Rightarrow\; 3t^2-10t+3=0.$$

   $$D=100-36=64,$$

   $$t_1=\dfrac{10-8}{6}=\dfrac13,\qquad t_2=\dfrac{10+8}{6}=3.$$

   1) Если $$\dfrac{x}{y}=\dfrac13,$$ то $$y=3x.$$ Тогда

   $$3x-2\cdot 3x=7 \;\Rightarrow\; -3x=7 \;\Rightarrow\; x=-\dfrac73,\qquad y=-7.$$

   2) Если $$\dfrac{x}{y}=3,$$ то $$x=3y.$$ Тогда

   $$3\cdot 3y-2y=7 \;\Rightarrow\; 7y=7 \;\Rightarrow\; y=1,\qquad x=3.$$

2. $$\begin{cases}\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2-8}=6,\\ x^2+y^2=20.\end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y^2=20-x^2.$$ Подставим в первое:

   $$\sqrt{x^2+8}+\sqrt{12-x^2}=6.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2+8+12-x^2+2\sqrt{(x^2+8)(12-x^2)}=36,$$

   $$2\sqrt{(x^2+8)(12-x^2)}=16,$$

   $$\sqrt{(x^2+8)(12-x^2)}=8.$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$ (x^2+8)(12-x^2)=64,$$

   $$-x^4+4x^2+96=64,$$

   $$x^4-4x^2-32=0.$$

   Пусть $$z=x^2,$$ тогда

   $$z^2-4z-32=0,$$

   $$D=16+128=144,$$

   $$z_1=\dfrac{4-12}{2}=-4,\qquad z_2=\dfrac{4+12}{2}=8.$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2=8,$$ значит $$x=\pm 2\sqrt2.$$

   Тогда $$y^2=20-8=12,$$ откуда $$y=\pm 2\sqrt3.$$

3. $$\begin{cases}x^2-xy-20y^2=0,\\ x^2+2xy-3y^2=32.\end{cases}$$

   Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:

   $$x^2-xy-20y^2=0.$$

   $$D=y^2+80y^2=81y^2,$$

   $$x_{1,2}=\dfrac{y\pm 9y}{2}.$$

   Получаем:

   $$x=-4y \quad \text{или} \quad x=5y.$$

   1) Если $$x=-4y,$$ то

   $$16y^2-8y^2-3y^2=32,$$

   $$5y^2=32,\qquad y^2=\dfrac{32}{5}.$$

   Тогда

   $$y=\pm \dfrac{4\sqrt{10}}{5},\qquad x=\mp \dfrac{16\sqrt{10}}{5}.$$

   2) Если $$x=5y,$$ то

   $$25y^2+10y^2-3y^2=32,$$

   $$32y^2=32,\qquad y^2=1.$$

   Тогда

   $$y=\pm 1,\qquad x=\pm 5.$$

4. $$\begin{cases}x-y-xy=17,\\ xy(x-y)=-70.\end{cases}$$

   Пусть $$u=x-y,$$ $$t=xy.$$ Тогда

   $$u-t=17,\qquad ut=-70.$$

   Из первого уравнения $$u=t+17.$$ Подставим во второе:

   $$t(t+17)=-70,$$

   $$t^2+17t+70=0.$$

   $$D=289-280=9,$$

   $$t_1=\dfrac{-17-3}{2}=-10,\qquad t_2=\dfrac{-17+3}{2}=-7.$$

   1) Если $$xy=-10,$$ $$x-y=7,$$ то $$y=x-7.$$ Тогда

   $$x(x-7)=-10,$$

   $$x^2-7x+10=0,$$

   $$x=2 \text{ или } x=5.$$

   Отсюда $$y=-5$$ или $$y=-2.$$

   2) Если $$xy=-7,$$ $$x-y=10,$$ то $$y=x-10.$$ Тогда

   $$x(x-10)=-7,$$

   $$x^2-10x+7=0,$$

   $$D=100-28=72,$$

   $$x=\dfrac{10\pm \sqrt{72}}{2}=5\pm 3\sqrt2.$$

   Тогда

   $$y=x-10=-5\pm 3\sqrt2.$$

Ответ

1) $$\left(-\dfrac73;\,-7\right),\ (3;\,1)$$;
2) $$\left(-2\sqrt2;\,-2\sqrt3\right),\ \left(-2\sqrt2;\,2\sqrt3\right),\ \left(2\sqrt2;\,-2\sqrt3\right),\ \left(2\sqrt2;\,2\sqrt3\right)$$;
3) $$(-5;\,-1),\ (5;\,1),\ \left(-\dfrac{16\sqrt{10}}{5};\,\dfrac{4\sqrt{10}}{5}\right),\ \left(\dfrac{16\sqrt{10}}{5};\,-\dfrac{4\sqrt{10}}{5}\right)$$;
4) $$ (2;\,-5),\ (5;\,-2),\ \left(5-3\sqrt2;\,-5-3\sqrt2\right),\ \left(5+3\sqrt2;\,-5+3\sqrt2\right). $$