Вариант 4 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения
Решите систему уравнений:
1) {y+4x=6, x^2+3xy-y^2=3}; 2) {(x-2)(y-4)=0, x^2+y^2-xy=12};
3) {x^2+7xy=-6, 9y^2-xy=10}; 4) {x^3 y^3-x^2 y^4=-54, x^4 y^2-x^3 y^3=-18}.

1. Из первого уравнения выразим $$y$$:
   $$y=6-4x.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ x^2+3x(6-4x)-(6-4x)^2=3. $$
   Раскроем скобки:
   $$ x^2+18x-12x^2-36+48x-16x^2=3, $$
   $$ 27x^2-66x+39=0, $$
   $$ 9x^2-22x+13=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=22^2-4\cdot 9\cdot 13=484-468=16, $$
   $$ x=\frac{22\pm 4}{18}. $$
   Тогда
   $$ x_1=1,\quad x_2=\frac{13}{9}. $$
   Находим $$y$$:
   $$ y_1=6-4\cdot 1=2, $$
   $$ y_2=6-4\cdot \frac{13}{9}=\frac{2}{9}. $$
   Получаем пары решений:
   $$ (1;2),\ \left(\frac{13}{9};\frac{2}{9}\right). $$

2. Из первого уравнения:
   $$ (x-2)(y-4)=0. $$
   Значит, либо $$x=2$$, либо $$y=4$$.

   1) Если $$x=2$$, то из второго уравнения:
   $$ 4+y^2-2y=12, $$
   $$ y^2-2y-8=0. $$
   Тогда
   $$ D=4+32=36, $$
   $$ y=\frac{2\pm 6}{2}. $$
   Отсюда
   $$ y_1=-2,\quad y_2=4. $$
   Получаем точки $$ (2;-2) $$ и $$ (2;4) $$.

   2) Если $$y=4$$, то из второго уравнения:
   $$ x^2+16-4x=12, $$
   $$ x^2-4x+4=0, $$
   $$ (x-2)^2=0. $$
   Значит, $$x=2$$, что уже учтено.

   Следовательно, решения системы:
   $$ (2;-2),\ (2;4). $$

3. Сложим уравнения:
   $$ x^2+7xy+9y^2-xy=4, $$
   $$ x^2+6xy+9y^2=4, $$
   $$ (x+3y)^2=4. $$
   Тогда
   $$ x+3y=\pm 2, $$
   $$ x=-3y\pm 2. $$
   Подставим в первое уравнение.

   1) Если $$x=-3y+2$$, то
   $$ x^2+7xy=-6. $$
   После подстановки получаем:
   $$ 12y^2-2y-10=0, $$
   $$ 6y^2-y-5=0. $$
   Тогда
   $$ D=1+120=121, $$
   $$ y=\frac{1\pm 11}{12}. $$
   Отсюда
   $$ y_1=1,\quad y_2=-\frac{5}{6}. $$
   Соответственно:
   $$ y=1 \Rightarrow x=-1, $$
   $$ y=-\frac{5}{6} \Rightarrow x=\frac{9}{2}. $$

   2) Если $$x=-3y-2$$, то
   $$ 12y^2+2y-10=0, $$
   $$ 6y^2+y-5=0. $$
   Тогда
   $$ D=1+120=121, $$
   $$ y=\frac{-1\pm 11}{12}. $$
   Отсюда
   $$ y_3=-1,\quad y_4=\frac{5}{6}. $$
   Соответственно:
   $$ y=-1 \Rightarrow x=1, $$
   $$ y=\frac{5}{6} \Rightarrow x=-\frac{9}{2}. $$
   Получаем решения:
   $$ \left(\frac{9}{2};-\frac{5}{6}\right),\ (-1;1),\ (1;-1),\ \left(-\frac{9}{2};\frac{5}{6}\right). $$

4. Вынесем общий множитель:
   $$ x^3y^3-x^2y^4=x^2y^3(x-y)=-54, $$
   $$ x^4y^2-x^3y^3=x^3y^2(x-y)=-18. $$
   Разделим первое уравнение на второе:
   $$ \frac{x^2y^3(x-y)}{x^3y^2(x-y)}=\frac{-54}{-18}, $$
   $$ \frac{y}{x}=3, $$
   значит,
   $$ y=3x. $$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ x^2(3x)^3(x-3x)=-54, $$
   $$ 27x^5(-2x)=-54, $$
   $$ x^6=1. $$
   Отсюда
   $$ x=\pm 1. $$
   Тогда
   $$ y=3x \Rightarrow y=\pm 3. $$
   Получаем решения:
   $$ (-1;-3),\ (1;3). $$

Ответ

1) $$\left(1;2\right),\ \left(\frac{13}{9};\frac{2}{9}\right)$$;
2) $$\left(2;-2\right),\ \left(2;4\right)$$;
3) $$\left(\frac{9}{2};-\frac{5}{6}\right),\ (-1;1),\ (1;-1),\ \left(-\frac{9}{2};\frac{5}{6}\right)$$;
4) $$(-1;-3),\ (1;3)$$.