Вариант 4 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему уравнении {x^2+y^2=10, xy=3}.
2. Определите графически количество решений системы уравнений {|y|=-x, y=x^2+4x-1}.
3. Сколько решений имеет система уравнений {ax+5y=20-a, 20x+ay=20} в зависимости от значения параметра a?

1. Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ xy=3. \end{cases} $$

   Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{10}$$.

   Из второго уравнения получаем $$y=\dfrac{3}{x}$$.

   Точки пересечения графиков находятся подбором: при $$x=1$$ имеем $$y=3$$, при $$x=3$$ имеем $$y=1$$, при $$x=-1$$ имеем $$y=-3$$, при $$x=-3$$ имеем $$y=-1$$.

   Следовательно, система имеет четыре решения:

   $$(-3;\,-1),\;(-1;\,-3),\;(1;\,3),\;(3;\,1).$$

2. Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} |y|=-x,\\ y=x^2+4x-1. \end{cases} $$

   Из первого уравнения получаем $$x\le 0$$ и $$x=-|y|$$, то есть график состоит из двух лучей:

   $$y=x \quad \text{при } y\le 0,\qquad y=-x \quad \text{при } y\ge 0.$$

   Второе уравнение задаёт параболу

   $$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5.$$

   Найдём точки пересечения параболы с лучами.

   1) При $$y=-x$$:

   $$ -x=x^2+4x-1 $$

   $$ x^2+5x-1=0. $$

   У этого уравнения два корня, и оба дают допустимые точки пересечения.

   2) При $$y=x$$:

   $$ x=x^2+4x-1 $$

   $$ x^2+3x-1=0. $$

   Из этих корней только один соответствует условию $$x\le 0$$ и даёт ещё одну точку пересечения.

   Итак, система имеет 2 решения.

3. Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} ax+5y=20-a,\\ 20x+ay=20. \end{cases} $$

   Найдём определитель системы:

   $$ \Delta= \begin{vmatrix} a & 5\\ 20 & a \end{vmatrix} =a^2-100. $$

   Если $$\Delta\ne 0$$, то система имеет единственное решение, то есть при $$a\ne \pm 10$$ решений одно.

   Если $$a=10$$, получаем:

   $$ \begin{cases} 10x+5y=10,\\ 20x+10y=20, \end{cases} $$

   второе уравнение является следствием первого, значит решений бесконечно много.

   Если $$a=-10$$, получаем:

   $$ \begin{cases} -10x+5y=30,\\ 20x-10y=20, \end{cases} $$

   умножив первое уравнение на $$2$$, получим $$-20x+10y=60$$, что противоречит второму уравнению. Значит, решений нет.

Ответ

1) $$(-3;\,-1),\;(-1;\,-3),\;(1;\,3),\;(3;\,1).$$

2) $$2$$ решения.

3) При $$a\ne \pm 10$$ — одно решение; при $$a=-10$$ — решений нет; при $$a=10$$ — бесконечно много решений.