Вариант 4 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решение неравенств методом интервалов
1. Решите неравенство:
1) (x+12)(x-4)(x-20) > 0;
2) (4x-5)^9 (x+1)(11-x)^6 > 0;
3) 8x/(x^2-6x+5)+2/(x-1)?4/(x-5);
4) (x^2-81)v(x^2-49)?0.
2. Найдите множество решений неравенства |x-a|(2x^2+x-3)?0 в зависимости от значения параметра a.

1. $$\left(x+12\right)\left(x-4\right)\left(x-20\right)>0$$

   Нули произведения: $$x=-12,\; x=4,\; x=20.$$

   Знаки на промежутках меняются при переходе через каждый из этих корней. Тогда

   $$x\in(-12;4)\cup(20;+\infty).$$

2. $$\left(4x-5\right)^9(x+1)(11-x)^6>0$$

   Так как $$\left(11-x\right)^6\ge 0$$ и при $$x\ne 11$$ этот множитель положителен, то знак неравенства определяется выражением

   $$\left(4x-5\right)(x+1)>0,\qquad x\ne 11.$$

   Решаем методом интервалов:

   $$x=-1,\qquad x=\frac54.$$

   Тогда

   $$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac54;11\right)\cup(11;+\infty).$$

3. $$\frac{8x}{x^2-6x+5}+\frac{2}{x-1}\ge \frac{4}{x-5}$$

   ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 5.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{8x+2(x-5)-4(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0 $$

   $$ \frac{8x+2x-10-4x+4}{(x-1)(x-5)}\ge 0 $$

   $$ \frac{6x-6}{(x-1)(x-5)}\ge 0 $$

   $$ \frac{6(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0,\qquad x\ne 1,\; x\ne 5 $$

   После сокращения получаем

   $$\frac{6}{x-5}\ge 0,\qquad x\ne 1,\; x\ne 5.$$

   Так как числитель положителен, то

   $$x>5.$$

4. $$\left(x^2-81\right)\sqrt{x^2-49}\ge 0$$

   ОДЗ:

   $$x^2-49\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -7 \text{ или } x\ge 7.$$

   Разложим первый множитель:

   $$x^2-81=(x-9)(x+9).$$

   На области определения корень $$\sqrt{x^2-49}\ge 0,$$ поэтому неравенство выполняется, когда

   $$x^2-81\ge 0.$$

   Тогда

   $$x\le -9 \text{ или } x\ge 9.$$

   С учётом ОДЗ получаем

   $$x\in(-\infty;-9]\cup[-7;7]\cup[9;+\infty).$$

5. $$|x-a|\left(2x^2+x-3\right)\le 0$$

   Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение не превосходит нуля тогда и только тогда, когда

   $$|x-a|=0 \quad \text{или} \quad 2x^2+x-3\le 0.$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) $$

   Отсюда

   $$x\in\left[-\frac32;1\right].$$

   Кроме того, $$|x-a|=0 \Rightarrow x=a.$$

   Итак, множество решений зависит от значения $$a$$:

   если $$a\in\left[-\frac32;1\right],$$ то $$x\in\left[-\frac32;1\right];$$

   если $$a\notin\left[-\frac32;1\right],$$ то $$x\in\left[-\frac32;1\right]\cup\{a\}.$$

Ответ

1) $$(-12;4)\cup(20;+\infty)$$;

2) $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac54;11\right)\cup(11;+\infty)$$;

3) $$\left(5;+\infty\right)$$;

4) $$(-\infty;-9]\cup[-7;7]\cup[9;+\infty)$$;

5) если $$a\in\left[-\frac32;1\right],$$ то $$x\in\left[-\frac32;1\right]$$; если $$a\notin\left[-\frac32;1\right],$$ то $$x\in\left[-\frac32;1\right]\cup\{a\}.$$