Вариант 4 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решение квадратных неравенств
1. Решите неравенство:
1) x^2-4x-96 > 0;
2) -4x^2+3x-5 > 0;
3) 49x^2+14x+1 > 0.
2. Найдите область определения функции
y=(5x-4)/v(x^2+x-42)+v(40-5x).
3. Решите неравенство |x^2-10| > x+10.
4. При каких значениях параметра a неравенство ax^2-2ax+a-9 > 0 не имеет решений?
$$x^2-4x-96>0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-96)=16+384=400$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 20}{2}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=12$$
Тогда
$$x^2-4x-96=(x+8)(x-12)$$
Произведение положительно вне корней:
$$x\in(-\infty;-8)\cup(12;+\infty)$$
$$-4x^2+3x-5>0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:
$$4x^2-3x+5<0$$
Рассмотрим дискриминант:
$$D=(-3)^2-4\cdot 4\cdot 5=9-80=-71<0$$
Так как $$a=4>0$$, то $$4x^2-3x+5>0$$ при всех $$x$$, значит неравенство $$4x^2-3x+5<0$$ решений не имеет.
$$49x^2+14x+1>0$$
Заметим, что
$$49x^2+14x+1=(7x+1)^2$$
Квадрат числа положителен при всех $$x$$, кроме случая, когда он равен нулю:
$$7x+1=0,\quad x=-\frac17$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\infty;-\frac17\right)\cup\left(-\frac17;+\infty\right)$$
$$y=\frac{5x-4}{\sqrt{x^2+x-42}}+\sqrt{40-5x}$$
Для области определения нужно, чтобы подкоренные выражения были допустимы, а знаменатель не обращался в нуль:
$$x^2+x-42>0$$
$$40-5x\ge 0$$
Решим первое неравенство:
$$x^2+x-42=(x+7)(x-6)>0$$
$$x\in(-\infty;-7)\cup(6;+\infty)$$
Второе неравенство даёт:
$$x\le 8$$
Пересечение множеств:
$$x\in(-\infty;-7)\cup(6;8]$$
$$|x^2-10|>x+10$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2-10\ge 0$$, тогда $$|x^2-10|=x^2-10$$ и
$$x^2-10>x+10$$
$$x^2-x-20>0$$
$$ (x+4)(x-5)>0 $$
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>5$$
С учётом условия $$x^2-10\ge 0$$ получаем:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(5;+\infty)$$
2) $$x^2-10<0$$, тогда $$|x^2-10|=10-x^2$$ и
$$10-x^2>x+10$$
$$-x^2-x>0$$
$$x(x+1)<0$$
$$-1<x<0$$
С учётом условия $$x^2-10<0$$ это решение подходит.
Объединяем ответы:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(5;+\infty)$$
$$ax^2-2ax+a-9>0$$
Чтобы неравенство не имело решений, квадратный трёхчлен должен быть не положителен при всех $$x$$. Рассмотрим дискриминант:
$$D=(-2a)^2-4a(a-9)=4a^2-4a^2+36a=36a$$
Если $$a>0$$, то ветви параболы направлены вверх, и неравенство будет иметь решения. Если $$a=0$$, получаем $$-9>0$$, что неверно при всех $$x$$. Если $$a<0$$, ветви направлены вниз, и выражение может быть положительным.
Следовательно, решений не будет при
$$a\le 0$$
Ответ
1) $$(-\infty;-8)\cup(12;+\infty)$$; 2) решений нет; 3) $$\left(-\infty;-\frac17\right)\cup\left(-\frac17;+\infty\right)$$; 4) $$(-\infty;-7)\cup(6;8]$$; 5) $$(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(5;+\infty)$$; 6) $$a\le 0$$.
