Вариант 4 Самостоятельная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Квадратичная функция, её график и свойства
1. Постройте график функции f(x)=x^2+4x-5. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства: a) f(x)?0; б) f(x) < 0; 4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) [-5; 2]; б) [3; 5]. 2. Изобразите схематически график квадратичной функции y=ax^2+bx+c, если a > 0, c < 0, -b/(2a) > 0.
3. При каких значениях параметра a произведение корней уравнения x^2+2ax+a^2+4a+16=0 принимает наименьшее значение?

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+4x-5.$$

   Найдём координаты вершины параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$

   $$y_0=f(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9.$$

   Так как $$a=1>0,$$ ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение функции равно $$-9.$$

   Тогда:

   1) $$E(y)=[-9;+\infty);$$

   2) функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;+\infty);$$

   3) найдём нули функции:

   $$x^2+4x-5=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2},$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=1.$$

   Значит,

   а) $$f(x)\ge 0,\quad x\in(-\infty;-5]\cup[1;+\infty);$$

   б) $$f(x)<0,\quad x\in(-5;1).$$

   4) На отрезке $$[-5;2]$$ минимум достигается в вершине, а максимум — на конце отрезка:

   $$f(-2)=-9,\quad f(-5)=0,\quad f(2)=7.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-9,\; y_{\max}=7.$$

   На отрезке $$[3;5]$$:

   $$f(3)=12+12-5=19,$$

   $$f(5)=25+20-5=40.$$

   Так как функция возрастает при $$x\ge -2,$$ то

   $$y_{\min}=19,\; y_{\max}=40.$$

2. Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ при условиях $$a>0,$$ $$c<0,$$ $$-\frac{b}{2a}>0$$ получаем:

   • ветви параболы направлены вверх;
   • график пересекает ось $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$, так как $$c<0;$$
   • абсцисса вершины положительна, то есть вершина расположена правее оси $$Oy.$$

   Следовательно, это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в правой полуплоскости, а пересечение с осью $$Oy$$ — ниже оси $$Ox.$$

3. По теореме Виета для уравнения

   $$x^2+2ax+a^2+4a+16=0$$

   произведение корней равно

   $$x_1x_2=a^2+4a+16.$$

   Рассмотрим выражение:

   $$a^2+4a+16=(a+2)^2+12.$$

   Минимум достигается при $$a=-2,$$ и наименьшее значение произведения корней равно

   $$12.$$

Ответ

1) $$E(y)=[-9;+\infty);$$ убывает на $$(-\infty;-2],$$ возрастает на $$[-2;+\infty);$$ $$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;-5]\cup[1;+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-5;1);$$ на $$[-5;2]$$: $$y_{\min}=-9,$$ $$y_{\max}=7;$$ на $$[3;5]$$: $$y_{\min}=19,$$ $$y_{\max}=40.$$

2) Парабола с ветвями вверх, вершина правее оси $$Oy,$$ пересечение с осью $$Oy$$ ниже оси $$Ox.$$

3) $$12.$$