Вариант 4 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Построение графиков функций y=f(|x|) и y=|f(x)|
1. Постройте график функции:
1) y=|vx-6|; 3) y=v|x-6|;
2) y=v(|x|-6); 4) y=v(|x-6|-6).
2. Функция f такова, что D(f)=[-4; 2) и E(f)=[8; 2). Найдите область определения и область значений функции |f(|x|)|.
3. При каких значениях параметра a уравнение |3|x|-2|=a-x имеет три корня?

Подробный ответ

Построим графики поэтапно, используя преобразования графиков функций.
1) $$y=\left|\sqrt{x}-6\right|$$
Это график функции $$y=\sqrt{x}-6$$, у которого отрицательная часть отражена относительно оси $$Ox$$.
2) $$y=\sqrt{|x|-6}$$
Здесь сначала берём модуль от $$x$$, поэтому график симметричен относительно оси $$Oy$$. Область определения задаётся условием
$$|x|-6\ge 0,\quad |x|\ge 6,\quad x\le -6 \text{ или } x\ge 6.$$
3) $$y=\sqrt{|x-6|}$$
График функции $$y=\sqrt{|x|}$$ сдвинут вправо на 6 единиц.
4) $$y=\sqrt{|x-6|-6}$$
Сначала сдвигаем график $$y=\sqrt{|x|}$$ вправо на 6, затем учитываем условие
$$|x-6|-6\ge 0,\quad |x-6|\ge 6,\quad x\le 0 \text{ или } x\ge 12.$$
Для функции $$f(x)$$ известно:
$$D(f)=[-4;2),\qquad E(f)=[-8;2).$$
Найдём область определения функции $$|f(|x|)|$$.
Так как в аргументе функции стоит $$|x|$$, нужно, чтобы $$|x|$$ принадлежало области определения $$f$$:
$$-4\le |x|<2.$$
Но $$|x|\ge 0$$, значит остаётся
$$|x|<2,\quad -2<x<2.$$
Следовательно,
$$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-2;2).$$
Так как $$f(x)\in[-8;2)$$, то после взятия модуля получаем
$$|f(|x|)|\in[0;8].$$
Значит,
$$E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;8].$$
Решим уравнение
$$|3|x|-2|=a-x.$$
Чтобы уравнение имело три корня, рассмотрим графики функций $$y=|3|x|-2|$$ и $$y=a-x$$. Три точки пересечения получаются при значениях параметра
$$a=\frac{2}{3}\quad \text{и}\quad a=2.$$