Вариант 4 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Построение графиков функций y=f(x)+b и y=f(x+a)
1. Каковы координаты вершины параболы:
1) y=x^2-9;
2) y=(x+6)^2;
3) y=(x-5)^2-7?
2. Постройте график функции y=vx. Используя этот график, постройте график функции:
1) y=vx-3; 2) y=4+v(x-2).
3. Построите график функции y=4x/(x+3).
4. Сколько корней имеет уравнение |x-2|=a-x^2 в зависимости от значения параметра a?

1. Для параболы вида $$y=(x-h)^2+k$$ вершина имеет координаты $$\left(h;\,k\right)$$.

   1) $$y=x^2-9$$, значит вершина: $$\left(0;\,-9\right).$$

   2) $$y=(x+6)^2=(x-(-6))^2$$, значит вершина: $$\left(-6;\,0\right).$$

   3) $$y=(x-5)^2-7$$, значит вершина: $$\left(5;\,-7\right).$$

2. График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем:

   1) на $$3$$ единицы вниз: $$y=\sqrt{x}-3$$;

   2) на $$2$$ единицы вправо и на $$4$$ единицы вверх: $$y=4+\sqrt{x-2}.$$

3. Преобразуем функцию:

   $$ y=\frac{4x}{x+3}=\frac{4x+12-12}{x+3}=4-\frac{12}{x+3}. $$

   Это гипербола с асимптотами $$x=-3$$ и $$y=4$$.

4. Рассмотрим уравнение

   $$ |x-2|=a-x^2. $$

   Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$a-x^2\ge 0.$$

   Решим по случаям.

   1) Если $$x\ge 2,$$ то $$|x-2|=x-2$$ и

   $$ x-2=a-x^2 \;\Rightarrow\; x^2+x-(a+2)=0. $$

   2) Если $$x<2,$$ то $$|x-2|=2-x$$ и

   $$ 2-x=a-x^2 \;\Rightarrow\; x^2-x+(2-a)=0. $$

   Число корней зависит от значения параметра $$a$$. В результате получаем:

   при $$a<\frac{7}{4}$$ корней нет;

   при $$a=\frac{7}{4}$$ один корень;

   при $$a>\frac{7}{4}$$ два корня.

Ответ

1) $$\left(0;\,-9\right),\ \left(-6;\,0\right),\ \left(5;\,-7\right).$$
2) Графики получаются сдвигом графика $$y=\sqrt{x}$$: вниз на $$3$$; вправо на $$2$$ и вверх на $$4$$.
3) $$y=4-\dfrac{12}{x+3},\ x\ne -3.$$
4) при $$a<\dfrac{7}{4}$$ корней нет; при $$a=\dfrac{7}{4}$$ один корень; при $$a>\dfrac{7}{4}$$ два корня.